你不可能十全十美，但如果不尝试，你就不会做得足够好

作者｜保罗·哈尔莫斯（Paul Halmos，1916-2006）

匈牙利裔美国数学家。作为冯·诺依曼的助手和鞅理论提出者约瑟夫·杜布的学生，他在逻辑、概率和统计、泛函分析等领域都做出了基础性的工作。

你需要很长时间才能学会生活，直到那时，你会知道自己的时光已经流逝。我花了大半辈子的岁月努力去做一名数学家，从中我学到了什么？怎样才能成为其中的一员？我认为我发现了答案：你必须天资卓越，你必须力臻完善，你必须热爱数学胜过一切，你必须勤奋不辍，你必须永不言弃。

天资卓越？是的。要成为一名数学学者，你必须生来具有天赋、洞察力、专注力、品味、运气、驱动力以及想象和猜测的能力。为了教学，你必须额外体悟学习者可能会遭遇什么样的障碍，你必须同你的听众产生共鸣，无私敬业，口才流利，思路清晰，长于说理。最后，为了能够在这个行业中发挥自己的作用，在从事基本的文书工作和履行行政任务时，你必须负责、认真、仔细、井井有条，如果你还具备一定的领导能力和个人魅力，就更有助益了。

《我想当数学家》[美] 保罗·哈尔莫斯 著张十铭 译

人民邮电出版社

2025年5月

你不可能十全十美，但如果不尝试，你就不会做得足够好。

要做一名数学家，你必须热爱数学甚于热爱家庭、宗教、金钱、舒适、快乐和荣耀。我的意思并不是说，你必须热爱数学而不顾家庭、宗教和其他方面；我也不是说，如果你真的热爱，就永远不会有任何怀疑，永远不会气馁，永远不会准备抛下一切转而从事园艺。怀疑和气馁是生活的一部分。伟大的数学家也会怀疑，也会气馁，但通常他们无论如何也无法停止做数学；而当他们真的停下来时，他们又会深深地怀念数学。

可以肯定，“数学家”是一个没有定义的术语，也可能现在（或以前）被称为数学家的某些人并不（或不曾）那么深地热爱数学。对数学不感兴趣的配偶需要同等的陪伴时间，作为父母对孩子的内疚感会让你选择在周六下午跟儿子玩接球游戏，而不是对着那道难以捉摸的问题去白费力气。家庭、宗教、金钱、舒适、快乐、荣耀和生活上的其他要求，或深或浅，对我们所有人而言都不同程度地存在着，我并没有说数学家们总在忽视这一切，我也没有说对数学的热爱比对其他事物的热爱更重要。

我想说的是，在某种程度上，一个人的爱是可以排序的，数学家（我总是乐于在这种意义下使用该词）最大的爱是数学。我认识许多数学家，无论伟大的还是平凡的，我确信，我所讲的对于他们而言都千真万确。举几位著名的数学家为例，如果马斯顿·莫尔斯（Marston Morse）、安德烈·韦伊、赫尔曼·外尔和奥斯卡·扎里斯基不同意我的观点，我会非常惊讶。

请注意，我并不是建议你或坚持让你热爱数学。我不会发出这样的命令：“如果你立志做一名数学家，就该立即开始热爱数学。”那将是荒谬的。我的意思是，对数学的热爱是一种假设，没有这个假设就不会得出那个结论。如果你立志做一名数学家，你就要审视自己的灵魂，质问自己做一名数学家的愿望有多大。如果这个愿望不是深刻和巨大的，如果它实际上不是最大的愿望，如果你有另一个优先的愿望，甚至不止一个，那么你就不应该尝试成为数学家。“应该”这个词不是从道德伦理上考虑，而是从务实的角度出发。因为我认为你的尝试很可能不会成功，而且，无论如何，你可能会感到沮丧和不快。

至于“勤奋不辍”，当卡迈克尔告诉我他花了多长时间准备一场50分钟的特邀报告时，我第一次明白了这意味着什么。50小时，他说。换言之，最终报告里的每一分钟都需要一小时的基础。

多年以后，当我们六个人写了一篇“数学史”的论文（《美国数学——从1940年到前天》）时，我算了一下，我那份任务大约花了150小时。我再一想到整个团队花了多少工时，就不寒而栗。仅是准备一次演讲（并不是论文）就能占用我几小时。我高声朗读全稿，然后，又对着录音机通篇讲了一遍。随后，我从头到尾听了六遍，其中三遍是为了找出需要润色的地方（并在下一次播放前就做好需要的润色），另外三遍是为了把握好节奏（特别是为了把握好每个部分的时机）。当这一切都过去后，我准备好透明胶片，在最后的彩排中（独自一人，没有观众）又从头至尾演练了一回。这就是工作。

阿基米德教导我们，一个渺小的量不断叠加，足以成为一个巨大的量，或用谚语来说：一点一滴，汇聚成河。要说如何成就这世上繁重的工作，尤其是数学家的工作，无论是证明一个定理、写一本书、教授一门课程、主持一个部门，还是编辑一份期刊，我赞成这一说法：阿基米德的方法是完成一件事的唯一方法。坚持每天做一点，没有例外，没有假期。作为例子，我提一下我的《希尔伯特空间问题集》的第一版，其中有199个问题。在迈阿密大学的那一年，我完成了初稿的大部分，我强迫自己每天写一个问题。但这并不意味着我写整本书花了199天，总时间大约是这个数字的三倍。

至于“永不言弃”，那是无须解释的，我一直都在试图用轶事来举证说明，但这里，为了有趣，我讲一个相关的小故事。大约是在1980年，我受邀给“普通”听众做了一次演讲。演讲结束后，我把它写了下来，投寄给《数学教师》（The Mathematics Teacher）发表。没过太久，我收到了几位评审人的报告，部分内容如下：“本文作者显然觉得她/他是在展示抽象的魅力和威力。虽然他/她的例子包含了这样的潜力，但我不觉得其呈现方式创造出了这种效果。……这篇论文的主要问题在于文风散漫，思想脉络也不清晰。……所关注的数学主题只能引起适度的兴趣。”这次投稿被坚决地拒绝了。我没有放弃，只是耸耸肩，只字未改地把同一篇文章投给了当时名为《两年制学院数学学报》（The Two-Year College Mathematics Journal）的期刊。它被接收并刊印，一年后，获美国数学协会颁发的“波利亚奖”。

这些关于如何做数学家的诀窍和描述，都不可避免地源于我自己成为数学家的尝试。没有人能告诉你数学家应该做什么，而我也不完全确定我知道他们实际上在做些什么——我真正能说出的只是我做了什么。

我跟数学家有多接近？我在数学上的全部贡献有多少？我首先想到的回答是一个小巧而漂亮的证明（单调类定理），几个还不错的定理（主要在我的遍历理论的论文“Approximation Theories...”和“In General a MeasurePreserving Theorem Is Mixing”中），以及一个逻辑学上的好想法（多元代数）。

我颇为擅长的一件事就是问问题。假定有一个数学问题，如果我能理解它的陈述，对它的历史有所了解，还曾花了一些时间研究它，对它的标准理论方法的掌握还算跟得上时代，那在这些条件下，我具备发现、识别和系统阐述其核心问题的天赋。如果我花了一个月的时间认真研究一个问题，试图回答它，却失败了，那么我就坚信它并非无足轻重。我坚信这样一个问题适合比我更优秀的数学家去解决。如果他们之中有人解决了该问题，那他必定会感到自豪和欣慰，至少要激动一阵子。例如幂不等式、正规算子的外尔冯·诺伊曼定理。

与我曾经问过的问题相关的是我发现并引入的那些概念，尤其是次正规算子和拟三角算子，可能还有巴拿赫代数中的容量。重要的理论都是从这些概念发展而来的。我认为，称之为贡献是公平的。

我写了一些不错的综述，还写了一些相当好的书。或许最出色的是《有限维向量空间》和《希尔伯特空间问题集》，不过，我自己对这种事表示支持或反对，可能是最没分量的了。

我最接近不朽的贡献是一个缩写拼法和一个印刷符号。我发明了“iff”，意思是“当且仅当”（if and only if），然而，我从来不相信我真的是它的发明者。我很乐于相信，在我发明之前它就已经存在，但我不知道它的存在，反正是我对它的创造（或者说再造）使它在数学世界中传播开来。而那个符号肯定不是我的创造——在我采用它之前，它已出现在流行杂志上（不是数学杂志），但是似乎也是我把它引入了数学。它是有时形如“□”的符号，用于表示结束，通常是一个证明的结束。它最常被称作“墓碑”（tombstone），但至少有一位慷慨的作者将其称为“halmos”（哈尔莫斯）。

就是这样，这就是生活，这就是事业。我是一名作家、编辑、教师和科研型数学家，这是依我对自己各项能力的评判，按由高到低顺序排列的。

接下来做什么呢？写作本书耗费了我极大的心血，花了一年半的时间和精力，在此期间，我无暇顾及科研。这是深思熟虑之后的一场冒险。我想写这本书，但根本不确定我能否按照我梦想的方式完成，不确定我能否把自己想说的话告诉读者。如果我最终成功了，我会很高兴；如果没有，我会很难过。但是，不管是哪种情况，我都不准备钻进地缝里，永远地消失。

我想要再多写一些数学，再多教一些数学，甚至再多证明一个定理。我会努力去尝试，这是肯定的。我思考数学，我教授数学，我撰写数学，我谈论数学，都已经达50年之久，我很高兴我一直这么做下来。我想当数学家。我仍然在路上。