时空的涌现：非线性波与斑图 | 涌现动力学第七课

导语

集智学园联合华侨大学郑志刚教授开设，从同步到集群，从动力系统到统计物理，本课程为你全面、系统地介绍涌现动力学，从物理学视角建立起理论框架。

现作为系列课程的第七讲，郑志刚教授将以「时空的涌现：非线性波与斑图 」为题，将从微观建模到宏观分析来系统介绍时空结构涌现，引入反应扩散方程，探讨振幅方程与斑图选择，开展时空系统的线性稳定性分析，并重点剖析图灵（Turing）斑图、非线性波特别是螺旋波的形成机理与转变。

主题：时空的涌现：非线性波与斑图

课程简介

我们生活的大自然呈现出各种各样的空间结构，不同动物都有自己特定的体表斑纹模式。这些漂亮的结构是怎样形成的？自然界的这些美丽画卷莫非是上帝之手绘就的么？

人们将这些既有时间演化又有空间模式特征的研究对象称为时空斑图。从科学视角来看，斑图(pattern) 可以一般定义为在时间或空间上具有某种规律性的非均匀宏观有序结构。斑图是自然的自组织形式。

本次课将从微观建模到宏观分析来系统介绍时空结构涌现，引入反应扩散方程，探讨振幅方程与斑图选择，开展时空系统的线性稳定性分析，并重点剖析图灵（Turing）斑图、非线性波特别是螺旋波的形成机理与转变。

课程大纲

1.概述：非平衡态与耗散结构

2.反应扩散方程：图灵分岔与霍普夫分岔

3.对称性分析：振幅方程

4.斑图选择：振幅方程分析

5.动态斑图与螺旋波

6.讨论分析

专业术语

Boltzmann有序性原理，耗散结构，自组织过程，斑图，反应扩散方程，对称性分析，振幅方程，螺旋波，靶波，行波，爱克豪斯失稳，漫游螺旋波（Dopler）失稳，失稳。

关键解释：

1. 自组织过程：内部具有一定功能的开系离开平衡态时，因其无序状态的失稳， 在系统内部涨落的驱动下转变为稳定的时间、空间或功能结构的过程。形成的 结构称作“耗散结构”（Dissipative Structure），它必须在系统不断与外界 交流物质、能量的条件才能出现和维持。

2. Hopf分岔：均匀定态变成时间振荡，时间平移对称性破缺。系统在临界点最危险的模为k=0的模（空间均匀微扰引起的系统失稳）。

3. 图灵分岔：均匀定态到非均匀空间振荡态（图灵斑图），空间平移对称性破缺 系统对均匀微扰稳定，但对某些模数的微扰不稳定，产生鞍结分岔 。

4. 扩散：当物质中粒子数密度不均匀时，由于分子的热运动使粒子从密度高的地方迁移到数密度低的 地方的现象。

5. 灵斑图的高级分岔：一般来讲，图灵分岔后系统形成的斑图会随控制参数的变化而失稳，从而导致新的斑图态的产生。这种失稳被称为图 灵斑图的高级分岔。

参考文献

1. A. M. Turing, The chemical basis of morphogenesis, Philos. Trans. R. Soc. B, 1952, 237: 37-72.

2. I. Prigogine and G. Nicolis, Self-Organization in Non-Equilibrium Systems, Wiley (1977)

3. H. Haken, Synergetics: An Introduction- 3rd Edition, Springer-Verlag, Berlin (1983)

4. M. Cross and P. Hohenberg, Pattern formation outside of equilibrium, Rev. Mod. Phys. 65, 851 (1993).

5. M. Cross and H. Greenside, Pattern Formation and Dynamics in Nonequilibrium Systems, Cambridge University Press, Cambridge (2009).

6. 欧阳颀, 反应扩散系统中的斑图动力学(上海科技教育出版社, 上海，2000)

7. 欧阳颀2010非线性科学与斑图动力学导论 (北京:北京大学出版社）

8. 郑志刚，复杂系统的涌现动力学（上下册），科学出版社 2019

9. Z.L. Qu, G. Hu, A. Garfinkel, and J.N. Weiss, Nonlinear and Stochastic Dynamics in the Heart, Phys. Rep. 543(2), 61 (2014).

10. Q. Ouyang and J.M. Flesselles, Transition from spirals to defect turbulence driven by a convective instability, Nature 379, 143 (1996).

11. V. Petrov, Q. Ouyang, and H. L. Swinney, Resonant pattern formation in a chemical system, Nature 388, 655 (1997).

12. Rietkerk, M., et al. (2021). Spatial Pattern Formation in Ecological Systems: Challenges of Turing Model Adaptation. Science, 371(6532), eabj0359

课程信息

课程主题：时空的涌现：非线性波与斑图

课程时间：2025年6月16日（周一） 19:00-21:00

课程形式：腾讯会议（会议信息见群内通知）；集智学园网站录播（3个工作日内上线）

课程主讲人

郑志刚，华侨大学二级教授，研究员-教授双岗，荟萃计划特聘教授，闽江学者、桐江学者特聘教授，福建省百人计划、高层次领军人才，系统科学学科负责人，物理学科带头人。

1997-2015年在北京师范大学工作，2001年破格教授，2006-2011年曾任物理系系主任。2015年至今在华侨大学信息科学与工程学院工作，任华侨大学系统科学研究所所长。曾获全国百篇优博、高校青年教师奖、优秀骨干教师奖等。

目前担任《JAND》杂志副主编，《Chaos》、《Scientific Reports》、《Entropy》、《Chinese Physics B》、《物理学报》等杂志编委。长期从事复杂系统统计物理与非线性动力学方面的教学研究，承担包括973、国家自然科学基金重点项目等国家和省部级项目30多项，在国际刊物发表学术论文200多篇。出版《混沌控制》、《耦合非线性系统的时空动力学与合作行为》、《从动力学到统计物理学》、《复杂系统的涌现动力学》、《生物分子马达的统计物理与复杂输运》等多部专著。

课程适用对象

1. 领域研究者、理工科研究生或高年级本科生：a. 对非线性动力学、复杂科学、统计物理等领域感兴趣； b. 具备一定的微分方程、线性代数及计算基础； c. 对交叉领域研究有热情的研究者；2. 具有探究精神的学生：a. 乐于参与讨论、假设推导和问题反思的学生。

报名须知

1. 课程形式：腾讯会议直播，集智学园网站录播。本系列课程不安排免费直播。2. 课程周期：2025年4月14日-2025年6月16日，每周一晚19点-21点进行。3. 课程定价：799元

扫码付费报名

课程课程链接：https://campus.swarma.org/course/5482?from=wechat

付费流程：

1. 扫码付费；

2. 课程页面添加学员登记表，添加助教微信入群；

3. 课程可开发票。

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