2025年阿贝尔奖柏原正树: 连接代数、分析与拓扑的“桥梁工程师”

3月26日，三大数学奖项之一的阿贝尔奖揭晓，日本数学家柏原正树 (Masaki Kashiwara)获奖，挪威科学和文学学院给出的评价是：“对代数分析和表示论作出了开创性贡献，尤其是 D 模理论的发展和水晶基的发现”。”

阿贝尔奖于2002年1月设立，2003年6月3日首次颁发，设立的初衷之一是为了弥补数学界没有诺贝尔奖的遗憾。该奖由挪威政府资助，奖金为750万挪威克朗（约合人民币512万元）。该奖项与菲尔兹奖、沃尔夫数学奖并称国际数学界“三大奖”。

今年的获奖者柏原正树 (Masaki Kashiwara)1947年生于日本茨城县结城市，在东京大学，他遇到了导师佐藤干男（1928-2023），佐藤利用代数作为理解线性偏微分方程 (LPDE) 的工具，创立了一个新领域——代数分析。1970年，柏原在佐藤的指导下完成了硕士论文，用代数分析研究线性微分方程组的新基础，将导师开创的领域发扬光大。研究生时期，柏原与佐藤以及他的数学家同事河合贵宏一起前往法国。在那里，他遇到了皮埃尔·夏皮拉 (Pierre Schapira)，后者成为了他一生的合作者。1974年，柏原在京都大学获得博士学位后，被任命为名古屋大学副教授。1977年，他以研究员身份前往美国麻省理工学院（MIT），1978年返回日本，一直任职于京都大学数理科学研究所（RIMS）。他于2010年成为名誉教授，并继续以RIMS教授的身份进行研究。自2019年起，他兼任京都大学高等研究院 (KUIAS) 教授。

柏原一生获奖无数，曾获得朝日科学奖、日本学士院奖、藤原奖、国际数学联合会陈省身奖、稻盛财团的国际京都奖、国际基础科学大会的前沿科学奖。2020年，柏原荣获日本圣物金银星章，2024年荣获京都奖（京都府文化杰出贡献奖）。

柏原正树

图源：Peter Badge/Typos1/阿贝尔奖

对称性在数学和物理世界中普遍存在。表示论使用代数工具来研究如何通过向量空间上的线性变换来表达给定的对称性。另一方面，线性偏微分方程传统上是使用分析工具来研究的。代数分析由佐藤干男开创，是通过代数方法对这些方程进行系统研究。柏原对该计划做出了开创性的贡献，在表示论中取得了令人惊讶的联系和惊人的成果。

D 模块为研究线性偏微分方程系统提供了一种代数语言。1970 年，柏原的硕士论文发展了解析 D 模理论，引入了特征变异的基本概念，并证明了柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理的广泛推广。

表示论中的 Kazhdan–Lusztig 猜想可以被看作是将表示的特征与交上同调群联系起来。这是由柏原与让-吕克·布莱林斯基共同证明的，他们运用了黎曼-希尔伯特对应关系。亚历山大·贝林森 (Alexander Beilinson) 和约瑟夫·伯恩斯坦 (Joseph Bernstein) 使用不同的方法获得了独立证明。

柏原和谷崎俊之后来通过在无限维旗簇上发展 D 模理论，将卡兹丹-卢斯蒂格猜想推广到无限维仿射李代数。从此以后，D-模理论成为了一个不可或缺的工具，并带来了表示论的许多新发展，包括正特征。

受到数学物理中可解格模型研究的启发，Vladimir Drinfeld 和 Michio Jimbo 于 80 年代末独立地形式化了量子群。它们是复半单包络代数或 Kac-Moody 李代数的变形。柏原引入了晶体基的概念，并证明了量子群可积最高权重表示的晶体基的存在。该证明通过一个复杂的归纳过程进行，现在被称为大循环论证，是一项杰作，随着时间的推移并没有得到太大的简化。柏原还将晶体基推广到全局基，后者由乔治·卢斯蒂格独立发现，并被命名为规范基。这项工作可以看作是对杨氏图和杨氏表理论的广泛而富有成果的概括。

几十年来，许多数学家受到了柏原数学思想的启发，许多人认为他为数学领域开辟了一条全新的革命性道路，用以前人们无法想象的方法证明了定理。1980年，柏原正树利用D-模理论证明了黎曼-希尔伯特对应，这是希尔伯特在1900年提出的微分方程行为猜想，过去困扰了数学家几十年。2016年，柏原正树证明了之前的黎曼-希尔伯特对应（Riemann-Hilbert correspondence）的一个延伸问题。

参考文献：

1.https://abelprisen.no/article/2025/abelprisen-2025-gar-til-masaki-kashiwara

2.https://abelprisen.no/begrunnelse/begrunnelse-fra-abelkomiteen-masaki-kashiwara