“1-1+1”的无限循环等于几？是1还是0？其实都不对

1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1......，这样一个无限循环的算式，你知道等于几吗？

乍一看，可能会觉得非常简单，但仔细想一想就会陷入迷茫之中，有人认为它等于1，有人认为它等于0，你觉得哪个答案是正确的呢？因为是一个无限循环的算式，所以要计算它的结果，就需要给它进行一下变形，按照基本的加减算式加括号的规则，这个算式可以变为这个样子：1-（1-1）-（1-1）-（1-1）......，也就等于1-0-0-0......，很显然，这个无限循环算式应该等于1。

如果只是到此为止，那么我们似乎已经找到了答案，但问题是这个无限循环算式不止能够变换成上述的一种形式，还有另一种变形。

也就是变为：(1-1)+（1-1）+（1-1）+（1-1）......，按照加减算式的加括号规则，这种变形也是完全正确的，继续进行计算就等于0+0+0+0......，所以这个无限循环算式的最终结果就是等于0。两种算式的变形方式都没有错，计算也没有错，但最终的结果却是完全不同的，这说明有一种计算方式错了，也可能两个都错了。

其实除了这两种计算方法之外，还有第三种方法。

我们可以将这个无限循环循环算式定义为X，那么-X就等于-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1......，把这个算式中的第一个-1单独拿出来，后面的算式其实就是X，所以这个算式其实就是-1+X。既然-X=-1+X，那么2X就等于1，X就等于1/2。现在好了，除了0和1以外，现在又出现了第三种答案，这到底是怎么一回事呢？数学是最严谨的科学，同一个算式不可能出现三个不同的答案，根本原因在于这三种计算方式都不适用于这个无限循环算式。

几个算式是一个级数，而级数可以分为收敛级数和分散级数。

什么是收敛级数呢？假如有一个无限循环算式是S1+S2+S3+S4......+Sn，随着n趋向于无穷大，这个算式的结果会收敛为一个固定的极限值，那么这个级数就是一个收敛级数。而1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1......这个算式就不同了，1-1=0，1-1+1=1，1-1+1-1=0，1-1+1-1+1=1，答案会不断在0和1之间跳跃，永远呈现发散式，不会向一个固定的答案收敛，所以它是一个分散级数。

分散级数没有固定的和吗？也不是。

分散级数按照常规的计算方法是没有固定的和的，但它存在着一个切萨罗和。具体的计算方法是这样的，先要对这个算式的和取平均，算式是(1+0+1+0+1......)/n，此时我们会发现，当n等于1时，平均值为1/1，当n等于2时，平均值为1/2，当n等于3时，平均值为2/3，当n等于4时，平均值为2/4。据此，我们可以发现一个规律，那就是当算式和的数量为2n时，算式的和就等于n/2n，也就是1/2。所以这个级数的切萨罗和就是1/2。

这不是与一开始使用的第三种方法计算出的最终结果一样吗？

的确是一样的，但这并不意味着前面的第三种计算方法是正确的，它们只是恰好结果一样罢了。而且前面那种方法计算的是级数的和，而我们后面计算的是分散级数的切萨罗和。那么“和”与“切萨罗和”到底有何区别呢？你可以认为“和”是现实世界存在的答案，切萨罗和则主要是数学意义上的，而切萨罗和本身在数学领域也有着诸多应用。当然，切萨罗法只是计算分散级数的一种方法，除此之外还有好几种其他方法，未来我们再做介绍。