截长补短构全等，你如何想到的？

截长补短构全等，你如何想到的？

在八年级上学期我们学习完全等三角形之后，对于几何图形中的等量转换，方法就极大丰富了，记得在课堂上也曾有老师或学生归纳过一句经典的话，全等三角形是等量的搬运工，再结合七年级下学期的平行线等知识，题目中可供转换的等量会非常多，这也极考验学生的观察分析能力，哪些需要转换，如何转换等。

构造全等三角形的基本方法是依据已有条件去构建，在所有常见判定全等三角形的定理中，至少要有一条边相等，其余条件要么题目给出，或者自已探究建构，例如旋转构建法、中线倍长法、截长补短法等，无论哪一种方法，核心就是去发现全等三角形。

题目

如图，在等边△ABC中，D为AB上一点，连接CD，E为线段CD上一点(CE>DE)，将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，连接AF.

(1)求证：BE=AF；

(2)点G为BC延长线上一点，连接AG交CF于点M，若M为AG的中点，用等式表示线段CE，MF，DE之间的数量关系，并证明.

解析：

01

(1)由旋转可得CE=CF，∠ECF=60°，再由等边△ABC得BC=AC，∠BCA=60°，因此∠BCE=∠ACF，利用SAS可得△BCE≌△ACF，最后得到BE=AF；

02

(2)先观察图形，其中CE可转移到CF，与MF在一条直线上，因此思路为将DE也转移到这条直线上，方便我们探究它们之间的数量关系；

方法一：

上一小题中，我们通过旋转△BCE至△ACF，不妨继续这个变换，将△BCD也进行同样的旋转，如下图：

延长CF至点H，使FH=DE，连接AH

我们容易得到△BCD≌△ACH，所以BD=AH，∠CBD=∠CAH=60°，再加上∠ACB=60°，可得AH∥CG；

现在可以利用点M是AG中点的条件了，易证△AMH≌△GMC，所以CM=HM，其中CM=CF-FM=CE-FM，HM=FH+FM=DE+FM，分别代入后得CE-FM=DE+FM，化简后为2FM=CE-DE；

方法二：

意图仍然是将这三条线段“搬”到一条直线上，过点G作GN∥AF，交CF于点N，如下图：

仍然利用点M是AG中点，易证△AMF≌△GMN，所以∠AFM=∠GNM，AF=GN，再利用前一小题中的△BCE≌△ACF得∠BEC=∠AFC，BE=AF，于是∠BEC=∠GNM，它们各自的邻补角也相等，所以∠BED=∠GNC，并且BE=AF=GN；

又∠BDE=180°-∠DBC-∠BCE=120°-∠BCE，∠GCN=180°-∠ACB-∠ACF=120°-∠ACF，而其中∠BCE=∠ACF，所以∠BDE=∠GCN，这样可得△BDE≌△GCN，故DE=CN，完成了转换；

我们可证FM=NM，即FN=2FM，而FN=CF-CN=CE-DE，最后得到2FM=CE-DE.

解题思考

两种方法，均为构造全等三角形，将三条线段转移到同一条直线上进行数量关系的探究，这种线段之间数量关系的比较方法，早在我们学习线段长度的时候就用过，不妨回忆一下七年级我们刚刚开始学习线段比较的时候，用的是什么方法，如下图：

2024年新人教版教材上用比较两条线段长度的案例，介绍了这种方法，核心就是将它们转移到一条直线上，并且一个端点重合，看另一个端点的位置，本题无论是截长或补短，均采用了这一比较思想。

涉及到多条线段数量关系的探究，不可避免会遇到线段的和、差问题，我们同样在教材上可以找到方法的根源，如下图：

如何想到构造全等三角形，首先需要想到线段比较的通法，然后思考如何在现有条件下完成比较，只要想到“搬到一条直线上”，这道题的解题大方向就对了，至于走哪条路，仁者见仁，智者见智。

所以，回到标题中的问题，你如何想到？答案已经呼之欲出了，平时课堂上学生学习数学基本概念和方法的时候，理解越深入，后期解题困惑就越少。