这本两千年前的数学宝典，让人佩服古人智慧

在中国古代的数学星河中，《九章算术》犹如一颗璀璨明珠，穿越千年的风尘，依然闪耀着智慧的光芒。

这本被誉为“算经之首”的著作，不仅系统总结了战国至秦汉时期的数学成就，更以其独到的算法和理论，为后世数学的发展奠定了坚实基础。

《九章算术》书影

左：南宋本书影，右：四库文津阁本书影

已故中国科学院院士、著名数学家吴文俊先生说，“在未来，以《九章算术》为代表的算法化、程序化、机械化的数学思想方法体系，凌驾于以《几何原本》为代表的公理化、逻辑化、演绎化的数学思想方法体系之上，不仅不无可能，甚至可以说是殆成定局。”

那么这本千年前的数学宝典，究竟有多厉害？今天就让小北来为你盘一盘。

算法为魂，《九章算术》蕴奥理

以往人们普遍认为《九章算术》的显著特点是其实用性和社会性，然而，这些特点并非中国数学所独。但唯有中国古代数学对算法的高度重视是独一无二的。

《九章算术》不仅注重实际问题的应用，更在算法层面上进行了深入的探索和总结，因此，它可以被看作是一本理论数学著作，在算法领域展现出了中国古代数学的独特魅力和深远影响。

第一卷“方田”含有各种图形的面积公式及世界上最早、最完整的分数四则运算法则。

第二卷“粟米”是以今有术为主体的比例算法。

粟，亦称“谷子”“粱”，去壳后称“小米”。原产中国，主要分布在华北、西北等黄土高原和东北西部的干旱、半干旱地区。籽粒营养价值高，主要供食用或酿酒，茎、叶、谷糠可作饲料。

第三卷为“衰分”，衰分就是比例分配算法，这一卷还有若干用今有术求解的异乘同除问题。

第四卷为“少广”，其第一部分是：有一块田地，已知其面积为1亩，还知道这块田地的特别小的“广”，也就是宽，求这块田地的长是多少，所以称为“少广”。

显然，这是长方形面积问题的逆运算。后来这种方法又发展出已知某正方形面积求其边长的开方术、已知某正方体体积求其边长的开立方术。这分别是面积与体积问题的逆运算。开方术和开立方术后来发展为求解一元方程的正根的方法。这是中国古代最为发达的数学分支。

第五卷为“商功”，商功的本义是讨论土方工程的工作量如何分配。为此，首先要知道工程中土方的体积和要挖掘的各种地下工程的容积。为解决这一问题，这一卷给出了各种多面体和圆体的体积公式。

大司农平斛，东汉光武帝（前5—后57）颁发的标准量器，现藏中国国家博物馆。

第六卷为“均输”，讲的是各县或各户赋税的合理负担算法。

第七卷为“盈不足”，也就是盈亏类问题的算法及其在各种数学问题中的应用。

第八卷为方程，其中介绍的方程术就是现今线性方程组的解法，与含有一个未知数及其幂次的等式这类方程不同。在这一卷中，有时根据实际问题所列出的关系式不是规整的方程，于是提出了列方程的方法“损益”。方程在消元时，可能出现小数减去大数的情形，便出现了负数，或者列出的方程本身就含有负系数，于是提出了正负数加减法则。

《周髀算经》中对勾股定理的图解。

第九卷为“勾股”，含有勾股定理、解勾股形、勾股数组的通解公式、勾股容方、勾股容圆以及简单的测望问题。

算筹启智，准十进制映辉煌

人类通过数字表达来理解和诠释世界，这一方式在《九章算术》中也得到了淋漓尽致的体现，其中重要数学创新便是算筹的准十进制位值制记数法。算筹加上先进的十进位值制记数法，是中国古典数学长于计算的重要原因。

《九章算术》对计算工具没有介绍。刘徽说，数学中“世代所传的方法，只不过是规、矩、度、量中那些可以得到并且有共性的东西”。规是画圆的工具，矩是画方的工具。度、量就是度量衡。用度量衡来量度某物，就得到其长度、容积和重量，这可以反映事物的数量关系。因此，规矩、度量就是人们常说的空间形式和数量关系。

用度量衡度量某物所得到的数量，通常用算筹表示。《九章算术》多次使用“算”字，它最重要的含义就是算筹。第四卷的开方术和开立方术要“借一算”，指借用一枚算筹。用算筹计算就是筹算。《九章算术》所解决的各种应用问题的计算，都是通过筹算完成的。

算筹采用十进位值记数，分纵横两式，其个、百、万等位上用纵式，其十、千、百万等位上用横式，是当时世界上最方便的计算工具。

将算筹纵横交错，并用空位表示0，可以表示任何自然数，也可以表示分数、小数、负数、高次方程和线性方程组，甚至可以表示多元高次方程组。《九章算术》卷八方程涉及到正负术，以算筹的颜色和摆放亦可区分正负。

可以说，中国古典数学的主要成就，大都是借助算筹和筹算取得的。

各种各样的算盘

自唐朝中叶起，随着商业繁荣，人们需要计算得快，便创造了各种乘除捷算法，并利用汉语数字都是单音节的特点，编成许多口诀，使之更加便于传诵记忆。但这样就产生了新的矛盾：嘴念口诀很快，手摆弄算筹很慢，得心无法应手。

为了解决这一矛盾，满足社会需要，就要有新的计算工具。这就使得我国最迟在宋朝就发明了珠算盘。此后，珠算盘与算筹共存并用了很长时间。大约在明朝中叶，珠算盘完全取代了算筹，完成了中国计算工具的改革。

刘徽注解，论证严谨传千古

现存的史料中，关于《九章算术》编纂的最早记载来自刘徽的《九章算术注》，他在《九章算术注》序中说，周公制定礼乐制度时便产生了九数。九数经过发展，就成了《九章算术》。

《海岛算经》是刘徽所著的测量学著作，本为《九章算术注》第十卷“重差”，是勾股章内容的延续和发展。后来此卷单行，因第一个题目为测望一海岛的高、远，故取名《海岛算经》，是“算经十书”之一。

刘徽在第一卷中对圆面积公式的证明、第四卷中对球体积公式的注解，以及第五卷中对阳马体积的证明中，巧妙地运用了极限逼近的推理方法，充分展示了卓越的逻辑推理能力。

在注解第四卷求解球体积公式时，刘徽创造性地提出了牟合方盖的概念，但遗憾的是，他未能成功计算出其体积，于是留下“以俟能言者”的期待，希望后来者能够解决这一问题。最终，这一难题被祖冲之父子攻克。

刘徽在证明几何问题时，往往需要借助图形（用于平面问题）和立体模型（用于立体问题），他的推理原理后来被吴文俊概括为“出入相补原理”。

过去，秦朝焚书，导致经、术散坏。西汉时期的张苍、耿寿昌，皆以擅长数学而著称于世。张苍等人凭借残缺的前人文本，先后对其进行删削补充。后来，有人认为《九章算术》是黄帝或其臣子隶首所作，这种说法当然不足为信。

日本历史学家堀毅在其著作《秦汉物价考》中引述《史记》《盐铁论》《汉书》及《居延汉简》等文献，考证了《九章算术》中物价所反映的时代，得出的结论是，《九章算术》基本上反映出战国、秦时的物价。这为刘徽的论断提供了新的佐证。

《九章算术》虽是两千多年前的古代著作，但其中所蕴含的思想和方法，在现代仍然具有极大价值。

古希腊数学家欧几里得及其著作《几何原本》的最早传世抄本、中译本。吴文俊曾指出：“从对数学的贡献的角度来衡量，刘徽应该与欧几里得、阿基米德相提并论。”

吴文俊指出：“由于近代计算机的出现，其所需数学的方式方法，正与《九章算术》传统的算法体系若合符节。”

实际上，《九章算术》的大多数算法可以毫无困难地转化为程序，用计算机来实现。吴文俊先生由此开创了数学机械化理论，这在国际数学界引起了巨大反响。吴文俊先生的这一成就，正是《九章算术》中的思想和方法启迪现代数学研究的典型案例。

数学是中国古代最为发达的基础科学之一，而《九章算术》与刘徽《九章算术注》先后奠定了中国古典数学的基本框架和理论基础，登上了当时世界数学研究的高峰，有力驳斥了中国古代没有科学的谬论。因此《九章算术》是进行传统文化教育和爱国主义教育的优秀读物。

《九章算术》（青春版）译者郭书春与法国学者林力娜（K. Chemla）合作完成的中法双语译注《九章算术》扉页。

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《九章算术》（白话译讲）

[汉]张苍 [汉]耿寿昌 删补

破除被数学支配的恐惧

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观点资料来源：《九章算术》

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走近中国古代算法的扛鼎之作