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当无限遇见无限,分数是不是要比整数多得多?

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整数和有理数一样多吗?

数学中最让人着迷的一个问题就是“无限”。

当我们开始学会数数,就发现1、2、3……数字似乎永远也数不完,这就是最简单的无限。而当接触到分数,比如1/2, 1/3, 2/3,这些数看起来似乎要比前者要多得多,那分数(有理数)真的要比整数更多吗?



这个问题看似简单,其背后却隐藏着数学家们对“无限”的深刻思考,它其实是一个数学史上颇具争议的经典话题,我们下面来仔细分析下。

什么是整数和有理数?

为了讨论整数和有理数的“大小”,得先弄清楚这两个概念到底是啥。



整数就是我们最熟悉的数集了,通常用符号ℤ表示。它包括下面这些:

  • 正整数:1, 2, 3, …
  • 负整数:-1, -2, -3, …
  • 零:0

有理数则是更大的一类数,记作ℚ,包括所有可以表示为分数的数。也就是p/q的形式,其中p和q是整数,且q ≠ 0。如果q为1的话,那也就是所有的整数了。

这样,有理数不仅包含所有整数,还包含分数和有限小数、无限循环小数,例如:

  • 分数:1/3, -7/8
  • 小数:2.5, -0.333…

如此看来,有理数一定要比整数多得多吧?不过……

无限的大小该怎么比较?

在日常生活中,我们会用“数量”来比较大小,比如一堆苹果、一包糖果、甚至一盘瓜子,仔细数一数就知道哪个多。但是在数学中,比较两类数的“大小”,就没法直接用“数一数”的方法了。

为什么?因为整数和有理数都是无限多的,那就完全没法数清楚。

数学家们为此发明了一套新方法,叫做一一对应法。它的核心思想是:

  • 如果可以把两类数一一配对,配对后没有遗漏或重复,就说明它们的“大小”是一样的。
整数和有理数一样多吗?

现在,就来看看整数和有理数的“大小”到底是不是一样的。

毫无疑问,整数集ℤ是无限的:我们可以从0开始,1, 2, 3, …一直往上数,也可以从0往负方向数,-1, -2, -3, …,没有尽头。所以整数是一个无限集

有理数显然也是无限的,因为整数本身就是有理数的一部分,而分数更是无穷无尽。

整数和有理数的“大小”:能一一对应吗?

既然“数一数”行不通,我们就要用一一对应法。下面分别来看整数和有理数的情况。

有理数看起来比整数多得多,但实际上,有理数和整数的“大小”是一样的。人们找到一个巧妙的方法,把有理数和整数一一对应起来。

将有理数排列成一个表

首先,把所有的正有理数写成分数的形式,并按照分子和分母的绝对值排列成一个无穷大的表格:



这个表格包含了所有正有理数。如果再加上负有理数(例如 -1/2, -3/4)以及0,就可以得到整个有理数集ℚ。

用“对角线法”一一对应

为了把有理数和整数配对,我们可以按照“对角线法”来排序:


▲ 图自维基百科

  1. 从(1/1)开始,沿对角线移动:1/1 → 2/1 → 1/2 → 3/1 → 2/2 → 1/3 → 4/1 → 3/2 → 2/3 → 1/4 → …
  2. 跳过重复的分数,比如2/2和1/1,只保留其中一个。

这样,我们就能列出一个有理数的序列:1/1, 2/1, 1/2, 3/1, 1/3, 4/1, 3/2, 2/3, 1/4, …

接下来,我们给每个有理数分配一个整数:

  • 1对应1/1
  • 2对应2/1
  • 3对应1/2
  • 4对应3/1
  • 5对应1/3
  • 6对应4/1
  • 7对应3/2
  • 8对应2/3

通过这种方法,就能把有理数和整数一一配对,不会有没有遗漏或重复。这样从数学上来说,有理数和整数是一样多的



  • 数学家康托尔通过研究集合的基数,提出了“可数无限集”的概念:如果一个无限集合可以与自然数(或整数)一一对应,那么它的基数是ℵ₀(阿列夫零)。整数和有理数的基数都是ℵ₀,因此从数学上看它们的“大小”是一样的。

整数和有理数的比较让我们看到,数学中的“大小”并不能直观得到。而通过一一对应法,数学家重新定义了无限集的“大小”,并揭示了数学中隐藏的层次结构——无限的“大小”其实有不同层次

在数学史上,这些关于无限的研究不仅改变了人们对数学的认识,也深刻影响了哲学、物理学等领域。它告诉我们,数学并不仅仅是公式和计算,更是人类思维的极限探险之旅。

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