回顾：地球所有的水倒入，都无法装满的瓶子，“克莱因瓶”到底是什么？

科学家们根据近现代科学知识体系，总结出了11个维度空间，第一维到第三维是存在于空间范围里的位置，比如长、宽、高，而此后则是科学家们的猜想，只是人类还没有实际的证据来证明它们的存在，对这些三维以上的空间也并没有一个准确的认识。

很多人直到现在也没有明白其他的多维空间是什么，而科学家们也在不断地对多维空间的存在进行研究和“试探”，比如德国的数学家菲利克斯·克莱因在1882年发现并命名的“克莱因瓶”，这是一个哪怕将地球上的所有水倒入都无法装满的神奇瓶子。今天我们就来了解一下这个著名的“克莱因瓶”。

克莱因瓶是什么

菲利克斯·克莱因出生于1849年4月25日，他大学学习的是数学和物理，原本他有着一个成为物理学家的梦想，却因为教授菲利克斯·克莱因知识的教授忽然去世，菲利克斯·克莱因为了完成教授没有做完的几何课题，走向了数学家的道路。

1882年，菲利克斯·克莱因提出了“Kleinsche Fläche”，这在德语里是意思是“克莱因平面”，然而因为翻译有误，后面的“平面”成为了“Flasche”，也就是“瓶子”的意思，即“克莱因瓶”。

虽然看起来是翻译错误了，但其实“瓶子”与菲利克斯·克莱因所描述的平面形象还是非常贴切的。这个“克莱因瓶”的结构大概是这样的：一个底部存在一个洞的瓶子，再将瓶子的瓶颈拉长，延伸进入瓶内与瓶底的洞相连。这样听起来是不是很简单？实际上这是一个没有“边”，如同球面一样表面无边无际，永不终结的单个曲面。

同时克莱因瓶也不存在内外的区别，内外是相通的，一只蚊子能够从“克莱因瓶”的内部直接飞出去，而不需要跨越瓶壁，或者说，克莱因瓶根本就没有瓶内和瓶壁之说，是一个有外而无内的神奇东西。

从数学学科的角度来看，克莱因瓶并不是一个真实的瓶子，而只是一种平面，它只是在我们的眼里看起来像是一个瓶子的外形，而且还是瓶颈穿进瓶身，再与瓶底的洞连接的物体。

然而实际上，克莱因瓶并未发生相交的行为，只是克莱因瓶的瓶颈与瓶身上的某些点处在了三维空间的相同位置，这才导致了在三维空间的我们看来，它们是相交的状态。

应该说克莱因瓶是一个只能存在于四维空间里的曲面，它的瓶颈是在四维空间里与瓶底相连，根本不需要从瓶身上面穿过去。

也因此，之所以地球上的水都无法将克莱因瓶装满，不是因为什么神乎其神的“黑洞效应”等等，而是因为克莱因瓶本身只是一个平面，它没有圈住空间，也没有内外之分，倒入克莱因瓶的水也会立刻流出去，自然也就无法“装满”了。

而有一些人拿着市面上所谓的“克莱因瓶”装上水，然后以此来反驳“克莱因瓶无法装满水”的观点，这是极其错误且无知的行为。

因为我们之前也有说过，这是一个只能存在于四维空间的平面，在我们所在的三维空间里，无论是科学家也好，还是什么大师级别的能工巧匠都无法将真正的克莱因瓶制作出来。

毕竟在三维空间里，想要实现菲利克斯·克莱因所说的克莱因瓶的构成，必须要将瓶身与瓶颈相交。那些所谓的“克莱因瓶”也只是人们凭着克莱因瓶在三维空间里所展现的冰山一角所制作的，它无法代表真正的克莱因瓶。

莫比乌斯环

如果还是无法理解克莱因瓶是什么，那我们可以将克莱因瓶沿着对称线分割，就能得到2个对称的“莫比乌斯带”。

这是莫比乌斯和另外一位科学家在1858年发现的现象，制作方式很简单，并且不像是克莱因瓶无法在三维世界里制造出来，莫比乌斯环只需要准备一个纸带，并将其中一端固定住，另外一端扭转180度，或者是任意的180的奇数倍度数，再将两端连接。

这个莫比乌斯带只有一个曲面，而不像是普通的一个纸带一样具有正反两面，将一只蚂蚁放在莫比乌斯带中，它甚至可以不用跨越莫比乌斯带的边界，或者说是不用自行翻个面，就能走遍整个曲面。

莫比乌斯带是两个面的连接，本质上只有一个面，也就无法定义到底什么地方是里面，什么地方是外面，是“二维空间中一维可无限扩展之空间模型”。

克莱因瓶与莫比乌斯带有着异曲同工之处，它是一个平面进行翻转、扭曲后，将多个面进行合一的结果，因此才会说它只有一个面。

如果我们在四维空间里，我们就能够将两条莫比乌斯环组成一个克莱因瓶，其实除了这个瓶子的形状，克莱因瓶还有另外一个很少有人知道的三维世界的形状——“8字形”，虽然两个形状在我们的眼里有着巨大的差别，但在四维空间里，它们其实就是一个平面罢了。

为什么克莱因瓶在三维世界是相交的？

当然，可能还会有人很疑惑，为什么克莱因瓶在四维空间是一个不相交的曲面，却在三维空间就相交了呢？我们从四维空间的角度可能很难更加详细精准地解释，那就换一个维度空间来分析一下。我们都知道，一维空间是一个点，它只有一个单位，比如往前或者往后，任何一个平面或者是空间在一维空间里都只能表现为一个点的形状。

二维空间则是平面，即只有前后、左右，而无法进行上下的活动，三维空间也就是我们所在的世界，具有长、宽、高三种位置方向，不仅能够进行前后、左右的活动，还能上下移动。

在三维空间里，我们把一个圈扭转却不相交，在我们的眼里它只是形状有所变化，根本没有发生碰触，但是在二维空间里，这却是一个具有交点的圈。

再比如我们将两根筷子一个朝下，一个朝前放置，它们本身是平行且不相交的，但是二维世界的人也只会看到交叉的两根筷子。

这就是从低纬度观察高纬度的缺点，低纬度的人总会缺少一些它们所无法理解的东西，因此只能发现它们能够发现的事情。就算是我们告诉一个生活在二维空间的人：一个苹果是由多个平面组成的，一个长方体有六个面等等，它们也都无法理解这是什么意思。

换句话说，我们的维度相对克莱因瓶比较低，在我们的认知里世界只有长、宽、高，所以无法理解克莱因瓶到底是怎么组成的。而克莱因瓶的这个形象也不过是它在三维空间的一个“投影”，是我们只能够看见和理解的部分。

四维空间是什么

那么四维空间到底是什么呢？其实科学家们还没有一个对四维空间准确的结论，目前而言也只是一个基于现有科技手段和理论知识上进行的对规律的猜想。

这里说的四维空间与爱因斯坦的“四维时空”并不一样，后者指的是宇宙是在三维空间的“空间”基础上，再与另外一个维度——“时间”共同组成的，其中的“第四维”与三个维度有着很大的差异：一个是时间，三个是空间。

而我们所说的四维空间，“第四维”与三种维度都属于是空间，从数学的角度来说，第四维就是在x轴、y轴、z轴的基础上，再延伸出来的一条同时垂直于这三条坐标轴的轴线，一般来说是将这条轴线称为是“w轴”。

这也就意味着，四维空间除了前后、左右、上下的三种活动方向以外，还存在着另外一种新的移动方向，这是三维空间的我们所无法做到的。

二维空间（平面）是由多个一维空间（点）组成的，三维空间是由多个二维空间组成的，按照这样的规律来看，那么四维空间也应该是由多个三维空间构成的，是多个平行的三维空间的堆积。

一本叫做《扁平世界》的书里描绘了一群生活在二维空间的人，对于他们来说，三维空间的人类就像是神仙一样——三维空间的人能够看见在二维空间里的人认为被遮挡在墙后的物体，也能够在不破坏掉二维空间的保险箱的前提下轻松地将里面的物体取出来。

甚至只要三维空间的人朝着平面以外的位置移动一点距离，对于二维空间的人来说就如同隐身了一般，永远也无法再找到他的踪迹。

同理，对于我们而言，超出了三维空间的生物也必然是具有“神力”的神仙，哪怕是我们的保险柜，它们也能够从另外的一个维度将内部的物体取走，也同样能在我们面前“隐身”。

事实上，我们也不必为此感到惊慌和担忧，多维空间还只是科学家们的推测而已，事实到底是什么样子的，面前还没有人能够知道。