东南大学刘继军、王海兵团队：反问题的正则化理论和应用

随着现代科学技术的发展，不适定问题的有效求解在地质勘探、遥测遥感、图像处理、深度学习等领域发挥着日益重要的作用。所谓不适定问题，是指由于客观条件的限制，待求解问题解的存在性、唯一性或者稳定性难以保证。由于工程应用中的输入数据总是带有误差的，不适定问题稳定性的恢复，对求解实际应用问题具有特别重要的意义。

与不适定问题密切相关的一类问题是反问题，因为大部分的反问题都是不适定的。

反问题理论的起源可以追溯到19世纪的晚期，包括地震学中的地震波的运动问题、旋转流体的平衡问题、Sturm-Liouville 反谱问题等。Newton 依据行星运动满足的开谱勒定律，确定了运动行星的受力，可以看成是过去解决的力学系统的反问题之一。利用位势理论确定物体的形状、位置和密度的反问题则起源于地球物理中的地质勘探问题。近代的反问题则包含了利用散射波场的数据确定物体的内部结构、利用电磁场的测量数据确定生物组织的内部结构等。

反问题和不适定问题的联系主要表现在，绝大部分反问题都是不适定的。这种不适定性主要表现在两个方面。一方面，由于客观条件的限制，反问题中的输入数据（即给定的解的部分已知信息） 往往是欠定的或者是过定的，这就会导致解的不唯一性或者是解的不存在性。另一方面，反问题的解对输入数据往往不具有连续依赖性。由于输入数据中不可避免的测量误差，人们就必须提出由扰动数据求反问题在一定意义下近似解的稳定的方法。因此，从上述意义而言，反问题和不适定问题是紧密联系在一起的。

近十五年来，国内学术界专注于反问题和不适定问题研究的团队不断发展壮大，同时对反问题和不适定问题的应用研究也在不断拓展和深入。近五年来，《反问题的正则化理论和应用》（刘继军，王海兵著. 北京: 科学出版社，2024. 11）作者及其研究团队在国家自然科学基金的资助下，在国内外学术同行的大力支持下，对不适定问题的正则化理论和应用开展了系统的研究，例如分数阶偏微分方程对应的反问题的研究、图像处理中的不适定问题的研究、基于深度学习的反问题的研究等等。这些研究，已经取得了比较系统的研究成果。

▲ 由T = 0.5 时刻噪声水平δ = 0.01 的噪声数据对不同正则化参数M 重建u0(x，y)。作者提出的正则化方法是用解的级数近似的有限项的项数M 作为正则化参数的，图像去模糊的数值实验表明，该方法可以有效重建图像的间断特征，有望在图像处理中发挥潜在的作用

《反问题的正则化理论和应用》是基于作者团队近年来的研究工作进行系统整理，以反映国内外学术研究的部分最新进展，为广大的学术同行提供一本系统的学术专著。

本书的内容除包含了线性不适定问题正则化理论及应用外，结合近年来作者团队的研究工作，还包括了非线性不适定问题的正则化方法和理论。我们认为，本书关于非线性不适定问题的正则化理论和应用的内容，对从事相关应用问题的研究人员，具有特别重要的意义，因为大部分重要的应用问题都是非线性的。考虑到反问题和不适定问题的研究是基于应用问题的强烈驱动，本书的应用部分包括了慢扩散过程的逆时问题、图像处理的正则化方法、非局部输入数据的非线性反问题、介质逆散射问题和分数阶微分方程的多参数重建的非线性反问题。这些内容是国际学术界近年来的主要研究方向，也反映了求解不适定问题的理论方法在求解实际问题中的应用。另外，本书还包含了200余篇参考文献，部分反映了国内外近年来反问题和不适定问题研究的理论和应用进展。

本文摘编自《反问题的正则化理论和应用》（刘继军，王海兵著. 北京: 科学出版社，2024. 11）一书“前言”“第1章 适定问题和不适定问题”，有删减修改，标题为编者所加。

(信息与计算科学丛书)

ISBN 978-7-03-079280-8

责任编辑：李 欣 贾晓瑞

在本书前五章，我们系统阐述了求解不适定问题的正则化方法，第3章和第4章是关于线性不适定问题的求解，第5章是关于非线性不适定问题的求解。在第6章，我们研究了用正则化方法求解几类重要的应用问题，分别是慢扩散过程的逆时问题、图像处理、非局部输入数据的非线性反问题、介质逆散射问题和分数阶微分方程多参数重建，反映了作者和其研究团队近三十年来的主要研究工作。

本书的读者对象是数学、物理、工程等领域从事求解不适定问题研究和应用的科研人员，也可以作为研究生的不适定问题课程的专门教学用书。

（本文编辑：刘四旦）

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