它们只是数学的抽象，还是宇宙的真实形状？从第五公设到非欧几何

或许在我们生活的宇宙中，欧几里得的定理是错误的，但偏差小到用我们最好的测量工具也是肯定测量不到的。有没有可能知晓我们是否真的生活在一个欧氏几何为真的世界里呢？大多数研究过早期非欧几何学的数学家似乎对这个问题不太关心。对他们来说，这一切不过是与现实无关的抽象数学。

要解开第五公设的谜团，我们只需问自己一个问题：《几何原本》的几何形状和圆盘的几何形状是否可以区分开来？在和一个出身未明的几何学家讨论时，是否可能知道他所说的是欧几里得的几何，还是贝尔特拉米的几何？是否可能对他提出一个根据不同情况答案也会有所不同的问题？

因此，让我们深吸一口气，从《几何原本》中选择一些结论，然后提出问题。一个两千年的悬念即将被揭晓。

好的，我们就以正方形为例。欧几里得的几何学里有正方形，但飞行员的几何学里却没有。那在贝尔特拉米的几何世界里呢？是否存在四条边相等且有四个直角的图形呢？

你瞧，他们拿出直尺和角尺开始画图形。可惜呀，他们的每一次尝试都以失败告终。画出来的图形要么缺一个直角，要么有一条边和其他边不相等，总是在某个地方卡壳（图 4.25）。又试了几次之后，他们不得不面对事实：圆盘中不存在正方形。因此，也不存在误解。因此我们的问题就有了答案。

之所以没有正方形，是因为无法仅凭前四个公设来证明正方形的存在。第五公设必不可少。史上最著名的数学问题就这样产生了。欧几里得的几何学需要它的五个公设，不能没有最后一个公设。

请你花点儿时间回顾一下这段论述，细细品味它的力量和精妙之处。你是否意识到，简单的角度转变就能让一个两千多年悬而未决的问题重现生机？为了解决这个问题，只需创造一个想象的世界，这个世界里的几何学家给“直线”这个词赋予的含义与我们的不同。除此以外，没有特别之处。不过是角度的问题。这种证明堪称巧妙、新颖和大胆的巧技。它是人类思想的奇迹。

剧情就这样落幕了，如此突然，几乎令人失望。这听起来美好得让人难以置信。第五公设在身后留下了一块空白，一种不安全的感觉。面对这一证明，最难的不是理解它，而是品味它全部的精妙，懂得如何去品味，用构成这一证明的寥寥数语实现简洁明了、摧枯拉朽的优雅。

第五公设的证明并非这些因习惯而受到侵蚀的想法。随着时间的流逝，这些想法日渐完善。每当我们回顾这些想法时，它们就会焕发出新的光彩。我对它们从未有过厌倦之情，每当我的思绪停留在它们身上时，我都会激动不已。

就这样，我们的大难题解决了。但既然我们已经走到了这一步，那就让我们再多走一段如何？贝尔特拉米和庞加莱圆盘的几何绝对堪称奇妙，而如果把对它的探索仅仅局限在正方形上，那就太可惜了。

一方面，《几何原本》中的很多结论在圆盘的几何中并不成立。用正方形来解释，那么一些经典的定理，比如泰勒斯或毕达哥拉斯的定理，也会被遗忘。但另一方面，很多在欧几里得的几何中无法成立的东西会成为可能。很多新的定理出现了，还有新的图形出现了。

比如直角正五边形。这是一些具有五条相等的边和五个直角的图形。在欧氏几何中，正五边形的内角一定是 108°。在圆盘几何中却存在直角五边形，我们甚至可以把这些五边形堆砌起来，也就是用并置的五边形把表面覆盖起来。在厨房和浴室里，我们经常会使用方形瓷砖。而圆盘上的居民则可以使用五边形瓷砖。

通常说来，圆盘上的贴砖工可以提供的产品种类要远远多于人类贴砖工可以提供的产品种类。图 4.26 中展示的是圆盘上的贴砖工产品目录中的一些产品。有正五边形瓷砖，也有内角为 60° 的四边形瓷砖，还有内角为 120° 的七边形瓷砖，以及在欧氏几何中不可能存在的很多组合图形。

看着这些瓷砖镶贴，我们会觉得并非所有瓷砖的形状都一样，但这只是地图扭曲的效果。在你看到的每一个例子中，所有的瓷砖在圆盘居民的眼中都具有相同的大小和形状。

我们越是深入探究贝尔特拉米和庞加莱世界的运转机制，就越会意识到第五公设的缺席给了我们怎样的自由。贝尔特拉米和庞加莱的几何比我们的几何要灵活得多，也丰富得多。瓷砖镶贴的例子令人印象深刻。欧氏几何中只存在三种完全规则的瓷砖：正方形、等边三角形和正六边形（图 4.27）。相反，圆盘中的规则图形则是无限的！

仅第五公设就能阐明圆盘几何。在欧氏几何只有一条平行线的情况中，圆盘几何则有无数条平行线。我们还可以给出圆盘几何中三角形多样性远远胜过欧氏几何中的例子。对于欧几里得而言，所有三角的角度之和都等于 180°。对于贝尔特拉米而言，这个角度之和总是小于 180°，但有可能发生变化。三角形有很多，其角度之和可以是从 0°到 180° 的任意值。简而言之，在各个方面，圆盘几何都要灵活得多，且提供了欧氏几何无法提供的众多可能性。

但是，仔细想想，我们刚才看到的不同的非欧几何图形，无论是飞行员的图形还是贝尔特拉米的图形，都仍然带有某些欧氏几何的痕迹。在小范围内，我们几乎看不到其中的差异。换句话说，如果你只画很小的几何图形，那么《几何原本》中的定理就会成立。

我们再次以球面几何为例。我们的星球是弯曲的，但作为人类，我们对此几乎察觉不到。在我们的日常生活中，地球就像平地一样。只有飞行了数千千米的飞行员才有可能察觉到曲率对他们的几何产生的影响。只要你经过的距离够短，差异就是不可见的。在球面几何中，既没有正方形，也没有长方形，因此从理论上来说，国际足球联合会比赛规则第一条所规定的足球场就是不存在的。地球上不可能存在有四个直角的足球场。但是，就这种足球场的规模而言，偏差已经小到无法察觉。

贝尔特拉米和庞加莱圆盘也是如此。当我们把圆盘看作一个整体时，上面的直线在我们眼中就会清晰地显现为曲线。但如果把圆盘放到足够大，曲率就会越来越小（图 4.28）。而且我们越是看小的事物，圆盘居民的感知和我们的感知之间的差异就会越模糊。例如，我们有可能画出和正方形几乎一模一样的图形。这些图形的角度不是恰好90°，而是 89.9°。

因此，如果圆盘几何学家的测量工具不够精确，他们就很可能会产生身处欧氏几何世界的错觉。他们所在空间的曲率在他们的尺度上可能无法被察觉。他们会言之凿凿地告诉你，在他们的世界里，正方形是存在的，因此第五公设是成立的。

这种思考令人眩晕。怎样才能让它不会反转并与我们对立呢？现在让我们回到“直线”这个词的本义上。它的本义不是飞行员所理解的意思，也不是贝尔特拉米所理解的意思，它真正的意思，是我们所理解的意思。你能确定这些直线验证了欧几里得的公设吗？

想象一下，我们真实的宇宙等同于贝尔特拉米和庞加莱圆盘的三维版本。它是一个巨大的球，在这个球里，所有靠近其边缘的物体都会缩小，因此，这个球对其居民而言似乎是无限的。欧氏几何在这个球上就是无法成立的。直线在那里就会是曲线。但是，我们这些被困在浩瀚宇宙中一粒蓝色尘埃上的微小生物对此是无法感知到的。在我们的尺度上，我们将无法察觉到这些被我们称为“直线”的巨大线条的曲率。

或许在我们生活的宇宙中，欧几里得的定理是错误的，但偏差小到用我们最好的测量工具也是肯定测量不到的。有没有可能知晓我们是否真的生活在一个欧氏几何为真的世界里呢？

大多数研究过早期非欧几何学的数学家似乎对这个问题不太关心。对他们来说，这一切不过是与现实无关的抽象数学。解决了第五公设，并创造出这些奇妙的世界，这种成就感就足以让他们感到幸福了。

接下来必须要说的是，当时的他们没有太多怀疑的理由。行之有效的牛顿理论是以欧氏几何为基础的。规模再大的天文测量也从未发现过欧几里得、牛顿和现实之间存在分歧的迹象。简而言之，没有第五公设的几何学美不胜收，但它们只是数学的抽象。对于大部分 19 世纪的科学家来说，我们的宇宙毫无疑问是欧几里得式的宇宙。

后来，在 1905 年，德国物理学期刊《物理年鉴》（Annalen derPhysik）刊登了一篇长达 30 页、名为《论动体的电动力学》（“ZurElektrodynamik bewegter Körper”）的文章。这篇论文永远地改变了我们对宇宙、空间和时间的看法。它的作者是一位当时年仅 26 岁的年轻物理学家，名叫阿尔伯特·爱因斯坦。他提出了一种理论：相对论。

上文转自图灵新知，节选自《数学的雨伞下》，【遇见数学】已获转发许可。

作者：[法]米卡埃尔•洛奈（Mickaël Launay）

译者：欧瑜

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