沃尔夫奖得主伊藤清：学习近藤老师对数学研究的态度

近藤老师不仅在课堂中教授数学知识，还会让学生自己进行思考，让学生真正理解这些知识。教育一词的英文是 education，德文是 Erziehung，二者的原意都是激发学生的潜能，近藤老师的教育方式正是实现这一理想的典型示例。这一点并不是我在听老师讲课时立刻明白的，当我自己也成为一名数学教育者之后，才渐渐感受到了老师的伟大之处。

近藤钲太郎老师在当时的旧制第八高等学校的老师中绝对算得上是一位卓越的老师，他也是在艰苦岁月中非常难得的一位老师。跟随近藤老师学习的学生都对他印象深刻，我想很多人的一生受到了老师的影响。这本纪念文集中，一定写有很多令我抱有同感的回忆，以及我没能发现的近藤老师的另一面。作为从八高毕业后选择走上数学研究道路的人，我在这里想以近藤老师的教学方式以及他与数学之间的故事为中心，写一写对他的回忆。我从近藤老师那里学到的与其说是数学知识，不如说是对数学研究的态度。这种态度是从近藤老师的课堂和他的话语中流露出来的。

我在 1932 年 4 月进入八高理乙班读书，近藤老师当时四十岁左右。理科班级中，理乙以德语为第一外语，学生中有一些人后来进入了理学院和工学院，但大部分人去的是医学院。我希望将来能就读数学专业，又听说德国的数学研究水平处于世界前列，因此选择了理乙。幸运的是，我们那个年级的数学教学是由近藤老师负责的，近藤老师在三年中一直教我们数学。

入学后没多久，近藤老师在课上发了一张试题纸。不是作业，而是让我们就上面写的东西进行思考。我看到内容后吃了一惊。下面我就来讲讲其中的两个问题。

一个问题是“指出下面句子中的逻辑错误”。

（1）吃得最少的人最饿，最饿的人吃得最多，所以吃得最少的人吃得最多。

（2）你很蠢，因为我只知道你做的蠢事。

当时，我对数学的理解还停留在代数就是精巧地进行计算，几何就是做好辅助线这种层面。近藤老师给出的题目让我陷入了沉思。

上面的例子是诡辩，没有正确的逻辑，那么诡辩和数学逻辑之间到底有什么区别呢？这个问题后来我也经常思考，并且得出了这样的结论：为了使数学的逻辑再接近诡辩也不会成为它，必须从明确的定义出发。

近藤老师不仅在课堂中教授数学知识，还会让学生自己进行思考，让学生真正理解这些知识。教育一词的英文是 education，德文是 Erziehung，二者的原意都是激发学生的潜能，近藤老师的教育方式正是实现这一理想的典型示例。这一点并不是我在听老师讲课时立刻明白的，当我自己也成为一名数学教育者之后，才渐渐感受到了老师的伟大之处。

试题纸上印着的另一个问题是描述√2的定义。√2的值是1.41421356…，之前为了应试，我曾经靠“意思意思而已”这条口诀来记忆，因此被问到定义时不知如何是好。我想过是不是可以将√2定义为平方之后的结果等于 2 的数，但又觉得 √2都没有明确定义，又如何去求它的平方。想到这里，我愈发困惑了。

所幸，我在暑假期间阅读了高木贞治老师的《新式算术讲义》，看到里面戴德金利用分割来定义实数，隐隐约约抓住了定义√2的正确方向。

那页试题让我深刻感受到了数学必须建立在严密的逻辑上。

大家都说近藤老师的数学课太难。在高二的微分学课程中，为了严密定义极限值，我们按照正规的顺序，从关于自然数的皮亚诺公理出发定义有理数，然后作为其分割来定义实数。这样的教学内容就算放在大学数学专业的课程中也会令初次听讲的学生烦恼，更不要说放在高中课堂上了。但是近藤老师进行了尝试，并在极短的时间里将课程讲完了。

虽然我之前在高木老师的著作中看到过这部分内容，但当时花了很长时间才明白其逻辑脉络，至于为什么要那样处理，我并不明白。然而，近藤老师在课上用只言片语就解开了我的疑惑，令我体会到了恍然大悟的畅快感。

有时，近藤老师会故意在课上跳过细节部分的推论，学生之后向他询问时他才会详细说明。有一次我去近藤老师家中问问题，他对我说：“在上课时我故意讲错这里。这个错误在一本非常有名的书中也出现过。你注意到了吗？”我其实并没有注意到，因此感到难为情，这种心情至今我都记得。

近藤老师出的试题总是很难，颇令学生们烦恼。现在回想起来，不应该说难，而应该说是别具一格。大多数老师出的试题只要使用学过的定理就能解出，但近藤老师出的试题并非如此，必须从本质上理解定理的证明才能解出来。

举个简单例子。比如“求在和为 50 的两个数中乘积最大的两个数”这样的问题，只要应用“如果两个数的和为确定的值，则两个数相等时乘积最大”这个定理，就能知道这两个数都是 25。但近藤老师会把问题改成“求和为 50 的互质的两个数中，乘积最大的两个数”这样的形式。用之前的定理得到的25 和 25 并不互质，但仔细看前面定理的证明，就会发现它是以“两数之积是两数之和的平方与两数之差的平方的差的四分之一”这一事实为基础的。因此，在这个例子中和是 50，两数的差越小，两数的积就越大。两数的差为 0（25、25）或 2（24、26）时，两数不互质，所以不行，但差为 4（23、27）时就可以了。

给很多“工具箱”准备定理并巧妙运用它们是最近数学使用者们的做法。与此相对，从证明中抓住数学定理的本质并发现新的定理，进而创造出新的理论，则是数学家的工作。近藤老师作为数学研究者进行授课，无论是授课内容还是习题都与普通的数学教学截然不同，令我十分佩服。

近藤老师的亲属们说他没有留下任何遗作。我想，恐怕近藤老师曾多次提笔，只是头脑中的想法一个接一个地涌现出来，只好不断重新开始。普通人觉得差不多就可以了，但近藤老师作为一个完美主义者肯定不会妥协。

从八高毕业后，我曾造访近藤老师家，那时老师曾透露想写一本叫作《数理新讲》的书，并和我讲了内容构想。这本书涵盖当时高中到大学低年级的数学内容，老师打算根据自己在八高多年的教学经验，在书中加入独特的思考。我曾在老师的课堂以及和他的谈话中多次听到在平常的书本中难得一见的具有深度的说明，这在我之后的研究中起到了巨大的作用，所以我期盼着近藤老师的这本著作能尽快完成。

这本书如果能够出版，我想一定能触动新制大学教养课程的学生，特别是立志研究数学的学生的心弦，成为一本名作。然而近藤老师几度提笔，不断推敲，最终还是没能完成，实在令人遗憾。

我作为数学研究者生活了五十余年，能在八高时代的 3 年里接受近藤老师的教诲，实在是三生有幸。我想再次对近藤老师表示感谢。

回想起每次去近藤老师家中拜访时接待我的师母的温柔身影，我最后还想再写一件事。有一次和近藤老师聊天时，师母端出了茶和刚刚出锅的豆沙包。近藤老师看都没看一眼，只顾着说话，我也因为忙着听老师说话没能品尝。就连师母来为我们添茶时，近藤老师也没停下，于是师母便静悄悄地将冷掉的茶和豆沙包撤下，过了一会儿，又将热茶和冒着热气的豆沙包端了上来，然后对我说：“快趁热吃吧。”于是我一边听近藤老师说话一边享用了。那时的豆沙包出奇地好吃。

上文转自图灵新知，节选自《世界是概率的》，【遇见数学】已获转发许可。

作者：[日] 伊藤清 译者：刘婷婷

沃尔夫奖、高斯奖得主，现代随机分析之父 日本数学大家 伊藤清

讲述数学思想与方法

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呈现日本数学发展的另类线索