数学家发现新形状来解决几十年来的几何问题

数学家长期以来一直想知道“宽度恒定的形状”在更高维度中的表现如何。一个令人惊讶的简单结构给了他们答案。

具有相同宽度的三个物体（图源：Christopher Webb Young）

如图，这三个物体具有恒定的宽度，这意味着当放置在两个平行平面之间时，它们会平滑滚动，就像球一样，尽管看上去它们不应该如此。

恒定宽度的物体在两平行平板之间滚动（视频源：Christopher Webb Young）

1986年，挑战者号航天飞机在飞行73秒后发生爆炸，著名物理学家理查德·费曼 (Richard Feynman，1918 - 1988) 被请来找出症结所在。后来他证明，用于连接航天飞机固体火箭助推器各部分的“O形圈”密封件由于低温而失效，造成了灾难性的后果。同时，他还发现了许多其他失误。

其中包括NASA计算O形圈形状的方法。在飞行前测试期间，该机构的工程师反复测量密封件的宽度，以验证它们没有变形。他们推断，如果O形圈被稍微压扁，变成椭圆形，而不是保持圆形，那么它周围的直径将不再相同。

费曼后来写道，这些测量毫无用处。即使工程师进行了无数次测量并发现每次直径都完全相同，但仍然存在许多“恒定宽度的物体”（也称定宽、常宽、恒宽、等宽），其中圆形最为典型。

可以说，最著名的非圆形的恒定宽度形状是鲁洛三角形（Reuleaux triangle），你可以通过三圆维恩图中重叠的中心区域来构造该三角形。对于给定的二维宽度，鲁洛三角形是具有最小可能面积的恒定宽度形状，而圆形面积最大。

二维恒定宽度形状示例（图源：Mark Belan）

在三维空间中，宽度恒定的最大物体是球。而在更高维度中，它只是一个更高维度的球——如果你将一根针放在一点并让它向各个方向自由旋转，那么它就会扫出该形状。

但数学家们长期以来一直想知道是否总有可能在更高的维度中找到更小的等宽形状。这种形状存在于三维中：虽然这些鲁洛形状可能看起来有点尖，但将它们夹在两个平行平面之间，它们就会像球一样平滑滚动。但总体而言，要判断这是否属实要困难得多。可能在更高的维度中，球是最佳的。因此，1988年，当时还是普林斯顿大学研究生的奥德·施拉姆 (Oded Schramm，1961 - 2008) 提出了一个听起来很简单的问题：你能在任意维度上构造一个比球体指数级小的等宽物体吗？

今年5月份，arXiv上发布的一篇论文[2]回答了这个问题。这五名研究人员的回答是肯定的。

这一结果不仅解决了几十年前的问题，而且让数学家第一次看到这些神秘的高维形状可能是什么样子。虽然这些形状很容易定义，但它们却非常神秘，未参与这项工作的特拉维夫大学数学家Shiri Artstein说道：“在这一点上，我们了解到的任何关于它们的新东西，任何新的构造或计算，都是有趣的。”现在，研究人员终于可以进入几何宇宙的一个曾经完全无法接近的角落。

播下种子

Andrii Arman（安德烈·阿曼）和Danylo Radchenko（丹尼洛·拉德琴科）曾在基辅的一所数学高中相识，也是乌克兰数学奥林匹克队的队友。他们成为了朋友，但并没有保持密切的联系。当他们的数学工作后来将他们独立地拉入Andriy Prymak（安德烈·普里马克）和Andrii Bondarenko（安德烈·邦达连科）的轨道时（他们曾一起就读基辅国立大学），他们重新建立了联系。此后，这四位数学家搬到了世界各地的不同城市，从事不同的研究项目，但他们通过Zoom每周聚集两次，共同研究困难的几何证明。

Andrii Bondarenko（安德烈·邦达连科，左）和 Danylo Radchenko（丹尼洛·拉德琴科）近期与他们的合作者证明，你总能在高维度中找到宽度恒定的小的形状。（图源：Ekaterina Poliakova/挪威科技大学；Grégory Hau）

恒定宽度的形状最初并未引起重视。去年，该小组试图回答一个名为博苏克问题（Borsuk problem）的相关问题，该问题困扰了数学家们一个多世纪。但在他们的会议期间，一个想法不断出现：当施拉姆在1980年代提出有关恒定宽度物体的问题时，他还建议了解这种形状可能会提供解决博苏克问题的方法。

数学家一直在寻求不同的方法，其中一些人不愿意改变焦点。但现就职于挪威科技大学的邦达连科坚持要他们尝试，即使这不能直接帮助他们。“他总是强调这个问题本身就很重要。”目前在曼尼托巴大学担任博士后研究员的阿曼说。最终，团队的其他成员同意进行尝试。

为了理解他们做了什么，回顾一下二维的鲁洛三角形会有所帮助。假设你要构建一个给定宽度的鲁洛三角形。首先画一个等边三角形——数学家称之为“种子”（seed）。在三角形边界上选择一个点，并围绕它画一个圆，其半径等于你想要的最终形状的宽度。现在，在三角形边界上的每个点上执行此操作，你就获得一组无限多个圆。

看看这些圆圈重叠的区域。在其中的某个地方，你将能够找到一个恒定宽度的主体——你只需找出你真正需要的“种子”子集。在这种情况下，你可以仅查看等边三角形的三个顶点，而不是其边界上的所有点。围绕这三个点画圆圈，你会得到一个维恩图（Venn diagram）；它的重叠区域就是鲁洛三角形。

三个圆相交形成鲁洛三角形（图源：Mark Belan）

在更高的维度中，可以使用相同的方法。从一组点（你的种子）开始。围绕每个点画一个球，获取它们的交点，然后寻找位于新空间内的恒定宽度的物体。但在高维度中，要弄清楚种子的哪个子集会给你想要的形状要困难得多。

阿曼、邦达连科、普里马克和拉德琴科对不同的“种子”进行了实验，最终得出了他们想要使用的特定曲线。他们知道这条曲线会给他们一个包含足够小且宽度恒定的物体的区域。但他们想了解恒定宽度的物体本身会是什么样子。当他们寻找答案时，阿曼在数学问答网站MathOverflow上发现了2022年的一篇帖子[3]。发帖者是肯特州立大学的费多尔·纳扎罗夫（Fedor Nazarov），他一直在独立尝试回答施拉姆的问题，尽管他陷入了困境，但他的方法看起来与乌克兰队的方法非常相似。四人组邀请他加入他们。就在那时，纳扎罗夫意识到了其他人忽略的一些事情：他们的“种子”赋予他们的形状不仅仅包含一个恒定宽度的物体。它本身也是等宽的。

Andrii Arman（安德烈·阿曼，左）和 Andriy Prymak（安德烈·普里马克）来自乌克兰的四人数学家团队，他们已经合作多年。（图源：Jaskaran Singh）

他们的工作提供了一种令人惊讶的简单算法，用于构建恒定宽度的n维形状，其体积最多为球的0.9ⁿ倍。阿曼说，从某种意义上说，这个限制是任意的。应该有可能找到宽度恒定的更小的物体。但这个证明足以回答施拉姆的问题，随着维数的增加，最小和最大等宽体的体积之间的差距呈指数级增长。阿曼说，尽管他们的结果背后有复杂的想法，但他们的构建是本科生应该能够验证的。

继续前进

对于希伯来大学的吉尔·卡莱（Gil Kalai）来说，看到他以前的学生施拉姆得到答案感到非常满意。施拉姆在许多不同领域的问题上取得了重大进展后，于2008年在一次徒步旅行事故中丧生。但卡莱也很高兴探索这一结果理论的后续成果。他说：“此前，在更高的维度中，这些形状可能都像球一样，至少在体积属性方面是这样。但事实并非如此。所以这意味着这些高维物体的理论非常丰富。”

该理论甚至可能有应用。毕竟，在较低维度中，恒定宽度的物体已经非常有用：例如，鲁洛三角形以钻头、吉他拨片和消防栓防篡改螺母的形式出现。根据阿曼的说法，在更高的维度中，它们的新形状可能有助于开发用于分析高维数据集的机器学习方法。邦达连科在该小组内因阿曼所说的“疯狂想法”而闻名，他还提出了与遥远的数学分支的联系。

对恒定宽度的最小可能物体的搜索（在大于2的所有维度中保持开放）仍在继续。该小组短暂地利用他们的构造在三维上研究了一个有希望的候选者，但结果让他们失望了：结果证明它只比已知最小的物体大百分之零点几。目前，数学家们决定放弃追逐并返回博苏克问题的研究。在他们身后，他们留下了一个新的高维形状的世界供其他人探索。

参考文献

[1]https://www.quantamagazine.org/mathematicians-discover-new-shapes-to-solve-decades-old-geometry-problem-20240920/
[2]https://arxiv.org/abs/2405.18501

[3]https://mathoverflow.net/questions/29000/volumes-of-sets-of-constant-width-in-high-dimensions/472375#472375

来源：zzllrr小乐

原标题：小乐数学科普：数学家发现新形状用以解决数十年之久的几何问题——译自Quanta Magazine

编辑：姬子隰

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