最接近神的公式——欧拉公式

英国科学期刊《物理世界》评选出了世界上最伟大的十个公式：欧拉公式、麦克斯韦方程组、牛顿第二定律、勾股定理、薛定谔方程、质能方程、德布罗意方程组、1+1=2、傅立叶变换、圆的周长公式。

今天我们就来窥探这个号称最接近神的公式——欧拉公式。

在说欧拉公式之前，我们要先简单介绍一下“欧拉”这个“神”一样的男人。

莱昂哈德·欧拉，瑞士数学家、自然科学家。1707年4月15日出生于瑞士的巴塞尔，1783年9月18日于俄国圣彼得堡去世。天才的道路往往都是相似的，13岁的欧拉入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位，期间他师从瑞典著名数学家—约翰·伯努利。

他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学界中的经典著作。他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领域。其中欧拉也是数学的分支拓扑学领域的先驱，拓扑学在如今已经变得非常重要（有机会我们聊一聊）。

法国数学家拉普拉斯说：读读欧拉，他是所有人的老师。

也是正是因此，他成为了很多学生最大的噩梦。

欧拉年轻时曾研读神学，他一生虔诚、笃信上帝，并不能容许任何诋毁上帝的言论在他面前发表。欧拉在叶卡捷琳娜二世的宫廷里，挑战当时造访宫廷的无神论同样是数学家的德尼·狄德罗：“先生，，所以上帝存在，请回答！”不懂数学的德尼完全不知怎么应对，只好投降。

说了这么多，只为佐证一个事情：欧拉是大神，欧拉公式更是无可挑剔。

其实上面的等式只是欧拉公式的一个特例，真正的欧拉公式是这样的：

其中x是实数。 当x=时，代入公式如下：

这就是有名的：

下面，需要证明最上面的欧拉公式。 今天我们只说大部分科学论文中出现的证明方法（我在《用级数定义一些函数》中已经简单证明过）。使用了麦克劳林公式， 首先导出麦克劳林的展开式：

为了进行比较，请导出sinx和cosx的麦克劳林展开表达式：

如果我们用ix替换e中的x：

提出了所有包含I的公式，与sin x和cos x的麦克劳林展开式进行比较，如下：

这样就得到了欧拉公式：

那么它到底有什么用呢？其实，欧拉公式的真正意义就在于，它将指数函数与三角函数在复数范围内建立了联系。

【练习】解方程：（答案：）