电磁学中的数学

19 世纪的一些科学家逐渐意识到, 一些方程可用于揭开电学和磁学的神秘面纱. 他们惊叹于偏微分方程的适用范围如此之广.

“electricity”(电) 一词来源于拉丁文“electrum”, 后者的意思是琥珀.19 世纪以前, 电荷指的是静电, 用一块琥珀在丝绸上摩擦, 人们就可以得到静电. 这种神秘的自然现象引起了 18 世纪最伟大的科学家们极大的研究兴趣. 其中最有名的人物莫过于来自美国费城的本杰明·富兰克林 (Benjamin Franklin). 凭借着雷电、莱顿瓶 (或采用现代的说法——电容器) 和电动轮(原始的电动机) 等诸多实验, 富兰克林获得了享誉世界的名声, 并得以进入法国社会. 美国独立战争期间, 富兰克林凭借其外交影响力, 使美国获得了法国的支持.

富兰克林率先意识到, 静电是带电粒子在某种力的作用下发生的流动;这种力类似于重力, 但不同的是, 它将对粒子产生排斥力, 而非吸引力. 等到19 世纪, 在丹尼尔·伯努利、亨利·卡文迪什 (Henry Cavendish)、查尔斯·奥古斯丁·库仑 (Charles Augustin Coulomb), 以及卡尔·弗里德里希·高斯 (Carl Friedrich Gauss, 1777—1855) 的努力下, 人们逐渐认识到静电力可由静电势解释, 后者满足与万有引力完全相同的偏微分方程, 只是这里的ρ 表示电荷密度 (并随着符号的改变而改变).

人们在 19 世纪早期同样见证了电流的发现: 闭合的电路上产生稳定的电子流. 1820 年, 丹麦科学家汉斯·克利斯蒂安·奥斯特 (Hans Christian Oersted, 1777—1851) 注意到: 若将带电的闭合电路靠近指南针, 将会影响指针的方向. 电与磁之间存在联系的只言片语迅速在欧洲传播开来. 同年晚些时候, 法国科学家让–巴普蒂斯特·毕奥 (Jean-Baptiste Biot, 1774—1862)与菲力克斯·萨伐尔 (Félix Savart, 1791—1841) 一同发现了被称作安培定律的偏微分方程, 由此建立了磁场和产生该磁场的电流之间的联系.

电流将产生磁场. 1831 年, 迈克尔·法拉第 (Michael Faraday, 1791—1867) 同样注意到, 移动的磁铁可以产生电流. 事实上, 这也是我们今天使用快速旋转的大型磁铁 —— 发电机 —— 进行发电的工作原理. 控制这种相互作用的偏微分方程引入了第四个变量——时间.

詹姆斯·克拉克·麦克斯韦将安培定律推广至随时间变化的电场情形, 并实现了这些方程的统一. 1865 年, 麦克斯韦在《皇家学会哲学会刊》(Philosophical Transactions of the Royal Society) 上发表了《电磁场的动力学原理》(“A Dynamical Theory of the Electro-Magnetic Field”), 这是其发表的最重要的科研论文之一. 在这篇论文中, 针对不断变化的电场和磁场, 麦克斯韦提出了可用于控制二者相互作用的方程; 他还意识到, 若采用电磁势能的语言表述, 所有的讨论都可被简化.

与相对简单的重力势相比较, 电磁势称得上是一个奇怪的想法. 重力势是 3 个自变量到 1 个取值的函数, 其中 3 个自变量用以确定某点的位置, 而1 个取值将给出这一位置的重力势. 电磁势是 4 个自变量的函数, 其中 3 个自变量用以确定位置, 另外 1 个自变量为时间; 电磁势将有 4 个相互独立、无具体意义的函数值, 每个函数值都依赖于前面的 4 个自变量. 势能是一个难以捉摸的概念, 我们既不能看到也不能触摸到它, 同样也不能产生直接的体验, 它仅仅是一个便于计算的虚构数学概念. 在这些方面, 电磁势则有过之无不及: 它的 4 个分量仅仅是为数学计算提供便利的中转站. 在这个意义下, 电磁势与复数有相近之处. 人们在很长一段时间内都将复数视作假想的数, 它们的存在, 仅仅是为求解 3 次、4 次多项式方程提供便利.

尽管如此, 麦克斯韦依旧发现了一些不一样的内容. 如果将电磁势函数值的四个分量分别表示成 ⟨A₁, A₂, A₃, A₄⟩, 它们将满足如下的偏微分方程

考虑电场和磁场相互作用的介质, 上式中的常数 c 可由该介质的电学、磁学性质决定.

令人惊奇的是, 方程 (2.15) 是一个波动方程, 这是达朗贝尔方程, 即决定弦振动方程的等式 (2.13), 在三维情形的推广. 这个证据足以强有力地表明: 电磁势的每一个分量都在振动; 在三维空间中, 它以速度 c 向各个方向传播.

测定了空气的电学、磁学性质后, 麦克斯韦发现这种波传播的速度为光速,实验误差在可容许的范围内. 据此, 麦克斯韦得出了一个著名的结论: 电磁势是一种客观存在, 它产生于变化的电磁场, 并在三维空间以光速向外传播.

对于麦克斯韦的断言, 人们似乎并不认同; 然而, 一些科学家认为, 这或许就是四维势场的真实面目. 这的确是一个有趣的想法. 如果它确实存在, 人们可以设计不存在物理连接的发射器和接收器: 让发射器在电磁势场中产生一个干扰, 这个干扰将以光速传播, 并被远处的接收器监测到. 1887年, 海因里希·鲁道夫·赫兹 (Heinrich Rudolf Hertz, 1857—1894) 成功地监测到电磁势的变化. 不出 10 年, 古列尔莫·马可尼 (Guglielmo Marconi,1874—1937) 与亚历山大·斯捷潘诺维奇·波波夫 (Alexander S. Popov,1859—1906) 都成功地将莫尔斯码转换成电磁势, 并在几千米之外完成了信息的接收和翻译.

时至今日, 人们将电磁势场中的波称为电磁波. 基于它们, 无线传输才得以实现. 电磁波是无形的, 若不是借助数学模型预言了它们的存在, 人们不可能发现电磁波, 更谈不上利用它们.

在 20 世纪, 人们见识了偏微分方程在建模方面的强大威力, 并由此预言了一些难以想象的现象, 包括黑洞、引力波, 以及质量和能量可以通过关系式 E = mc² 相互转化, 等等. 这些借助微分方程建立的模型几乎构成了全部现代科技的基础.

若仅仅借助标准函数, 人们很难完成这类微分方程的求解. 始于牛顿,加速于 18 ∼ 19 世纪, 科学家们逐渐认识到, 若试图求解这类方程, 人们需要借助复杂的无穷级数. 到 19 世纪, 理解这种复杂的求和在大部分数学活动中占据了上风.

上文节选自图灵新知《微积分溯源》，【遇见数学】已获转发授权。

作者：[美]戴维·M. 布雷苏（David M. Bressoud）

译者：陈见柯 林开亮 叶卢庆

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