视频回放｜数学是非常美丽的！浦江科学大师讲坛第七期菲尔兹奖得主开讲“表示论”

▲颁授“主讲科学家”证书

7月25日，由上海市政协发起并主管，上海市政协科技和教育委员会、复旦大学、中共上海市科学技术工作委员会、市科学技术委员会、市科学技术协会和世界顶尖科学家协会等单位共同举办的“浦江科学大师讲坛”第七期在复旦大学相辉堂开讲。2006年菲尔兹奖得主安徳烈·奥昆科夫以“表示论的源头与硕果”为主题作主旨报告。上海市政协副主席吴信宝出席讲坛并为安徳烈·奥昆科夫颁授“主讲科学家”纪念证书。复旦大学校长金力主持讲坛。

“数学是非常美丽、非常深刻的，但有时它很难理解。”奥昆科夫说，“表示论的源头是什么？不妨先看看这些充满对称的图形：正多面体、晶体结构，还有各种美丽繁复的饰品花纹。”

▲讲解“表示论”

“表示论与对称性有关，人类喜欢对称，正是对称思维激发了表示论的诞生。”奥昆科夫说，数学中的对称性有两大分类：离散对称性和连续对称性，其本质区别在于是否可以存在微小的扰动。当我们看到一个现象，不应仅仅思考这个现象，而应思考其背后的一般规律。数学家就是用抽象符号给出了对以上现象的阐述方式——抽象代数中“群”的概念。

群是数学研究的基本对象之一，简单来说，它是一个带有“乘法”作用的集合，这样一个抽象概念可以很好地描述“对称”这一现象。“我们可以用对称变换的全体——对称变换群来描述研究对象的对称性。”奥昆科夫说。

▲ 讲解“表示论”

他认为，不同的对象可能拥有相同的对称群，比如正十二面体和正二十面体，因此我们应该研究群在具体对象上的“表现形式”，表示论就是研究这种“表现形式”的数学。

“表示论的核心是，不仅考虑我们研究的对象，还应该进一步考虑该对象所在的欧式空间，如正多面体所在的三维空间和正多边形所在的二维平面，将研究对象上的变换延伸到整个空间上，这一般也被称为群作用在整个空间上。”奥昆科夫说，这种将代数结构中的元素表示为欧式空间上的线性变换的方式，就叫做表示论。

奥昆科夫介绍了一类重要的群——Weyl群，是仅由反射组成的有限群。通过六边形结构雪花的例子，他解释了Weyl群在表示晶体群结构及量子色动力学等领域的重要作用。在此基础上，他进一步介绍了仿射Kac‐Moody群——由反射生成的无限晶体群，可以用来描述物理上有无限维自由度的量子系统，这一重要特性让其在量子场论等物理研究领域有着重要应用。

“表示论与其他学科的结合是一个重要研究方向。把这些数学理论应用到具体问题的解决中是很有意义的，这也意味着我们对相关理论的理解达到了新的高度。”奥昆科夫说。

▲ 讲坛现场

主旨报告后，奥昆科夫与现场的青年学子与奥昆科夫互动交流，提出了很多数学领域高深问题，奥昆科夫逐一给予详细解答，现场学术氛围浓厚。

“作为研究人员，你可以适当挑战自己，但归根结底你还是要找到你适合的研究领域，而不是强迫自己学习不喜欢的东西。”奥昆科夫说，要“打好基础”，希望大家在学习新兴成果时，也不要忘记那些优秀的学术经典和传统，不要忘记从数学学科悠久的历史长河中汲取力量。

面对人工智能时代的来临，奥昆科夫认为，我们既不能固守传统，也不能一味追求AI的发展。传统计算方法与最新的人工智能研究方法可以在数学理论研究中和谐共存，这需要我们用好数学传统的同时，及时吸纳人工智能最新应用。

市政协科技和教育委员会主任曹振全、常务副主任马兴发，人口资源环境建设委员会主任马静、常务副主任张喆人，经济和金融委员会常务副主任马益民等各专委会负责同志，市科技工作党委、市科委、市教委、市科协、世界顶尖科学家协会等单位负责同志，以及部分市、区政协委员，大学、中学师生代表等参加。

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