莫等闲，白了少年头：超冷原子模拟哈伯德模型 | 袁岚峰

■导读

费米子，哈伯德模型，冷原子，量子模拟，反铁磁，高温超导等等，每多了解一个术语，你的知识水平就多一个9。如果全都了解的话，你就超过了99.9999%的人！

最近有个大新闻，中国科学技术大学潘建伟、陈宇翱、姚星灿、邓友金等人构建了求解费米子哈伯德模型的超冷原子量子模拟器“天元”，以超越经典计算机的模拟能力首次验证了该体系中的反铁磁相变，朝向获得费米子哈伯德模型的低温相图、理解量子磁性在高温超导机理中的作用迈出了重要的第一步（）。论文7月10日在线发表于《Nature》（https://www.nature.com/articles/s41586-024-07689-2）。

潘建伟（中）、陈宇翱（左）和姚星灿（右）

呃，这说的是啥？普通人可能唯一能听懂的是，论文发表于《Nature》。

看看这里有多少科学术语：费米子，哈伯德模型，冷原子，量子模拟，反铁磁，高温超导等等，每一个都不是省油的灯。“天元”倒是容易理解，就是围棋棋盘的中心那个点，但在这里是实验装置的名字，并不是科学术语。我可以说，每多了解一个术语，你的知识水平就多一个9。所以如果全都了解的话，你就超过了99.9999%的人！

不过，了解这事的大图景其实也并不是特别难。我跟姚星灿聊了一个多小时，就基本明白了。下面，我来向大家解读一下。

首先，这是量子模拟的一个重大进展。量子模拟指的是，用一个量子体系模拟另一个量子体系。

量子这个词也许对没有学过量子力学的人来说不容易理解，但模拟的理念应该是比较容易理解的。一个典型例子就是风洞。造一架飞机在空气中飞，是比较困难的，但造一个风洞，让气流吹过一个固定的飞机模型，是比较容易的。空气不动飞机动，跟飞机不动空气动，在数学上是等价的。这样就可以极大地节约成本和时间，做到原来做不到的事。类似的，量子模拟就是造一个量子体系，用它来模拟跟它在数学上等价的另一个量子体系。

歼-10在风洞中

那么，这次模拟的是什么呢？是费米子哈伯德模型。

费米子是个量子力学中比较入门的知识。世界上的微观粒子分为两类，费米子 （fermion） 和玻色子 （boson） 。电子、质子、中子等属于费米子，光子、胶子等属于玻色子。原子作为复合粒子，同样也可以分为费米子和玻色子。 例如这项工作中用的Li-6属于费米子，而比它多一个中子的Li-7就成了玻色子。

比较进阶的知识是哈伯德模型 （Hubbard model） 。其实我20多年前上学的时候就听说过这个模型，因为当时高温超导很热，而哈伯德模型被普遍认为是高温超导的基础。在这里的费米子，当然指的就是电子。

这个模型是什么呢？它的形式非常简单，只有这么两项 （ ） 。当然，简单的意思是，如果你能看懂这些符号，它就是简单的。这里的a + 是产生算符，表示在某处产生一个粒子，a是湮灭算符，表示在某处消灭一个粒子，n是粒子数算符，表示某个状态上的粒子数，其实它就等于这个状态的a+乘以a。

哈伯德模型

总之，了解了这些符号以后，你就会明白，哈伯德模型说的其实就是这么两件事。一，如果有一个粒子从一个格点跳到旁边的格点，整个体系的能量就降低t。这就是为什么，t前面有个负号。t越大，就说明粒子越容易跳来跳去。二，如果有两个自旋相反的粒子待在同一个格点上，整个体系的能量就升高U。这是因为电子带负电荷，两个带同号电荷的粒子之间会互斥，U就是这个排斥能。U越大，就说明两个电子越不容易待在一起。

二维哈伯德模型图示（https://handwiki.org/wiki/Physics:Hubbard_model）

然而奇妙的是，这么一个看起来很简单的模型，在数学上却很难求解。最搞笑的是，对于一维和无穷维这两个极端，我们都有解析解，但对于二维、三维、四维等中间的维度，却没有解析解，而且数值解也很难求。

这就很杯具，因为大家最关心的其实是二维。这是因为高温超导材料主要是铜氧化物，其中发挥关键作用的是二维的 Cu-O 原子层。 但偏偏，二维的哈伯德模型就没有解析解。 几十年来，对哈伯德模型的数值研究都发展成了一个庞大的领域，但仍然有许多基本问题算不清楚，例如有掺杂情况下的反铁磁相变。

好，这就说到了下一个关键词，反铁磁相变 （antiferromagnetic phase transition） 。我们日常比较熟悉的是铁磁性 （ferromagnetic） ，顾名思义铁就有铁磁性，即所有原子的磁矩同向排列，导致宏观的磁场。而反铁磁的意思是，相邻原子的磁矩全部反向，即上下上下上下这样相间排列，结果在宏观上没有磁场。这里的反铁磁相变指的是，随着温度的降低，体系从磁矩随机排列的顺磁 （paramagnetic） 相变成反铁磁相，这个转变温度叫做奈尔温度 （Néel temperature） 。

在费米子哈伯德模型中，一个格点最多只能填充两个粒子，所以粒子数刚好等于格点数的情况被叫做半满 （half filling） ，或者叫做无掺杂 （doping） 。对于这种情况立刻可以看出，它能量最低的状态就是反铁磁态，即每个格点上都有一个粒子，而相邻格点的粒子自旋方向相反。但问题是，如果有一点掺杂呢？即如果粒子数跟格点数的比例不是1，而是稍微差一点，那么体系是否仍然保持反铁磁态？如果可以保持的话，那么这个掺杂的阈值是多少？有没有可能，这个阈值是0，即只要稍微偏离一点点，反铁磁就会消失？

设想的哈伯德模型低温相图（ ）

这些对于现在的计算机，都是巨大的难题。而高温超导相是在反铁磁相基础上进一步掺杂出现的，所以用哈伯德模型来解释高温超导，就离得更远了。因此，我们其实并不清楚哈伯德模型是否能解释高温超导。这只是一个假设，而这个假设是需要检验的。所以精确模拟哈伯德模型有两重意义，一是了解哈伯德模型本身会推出什么结果，二是了解哈伯德模型能在多大程度上解释现实，也就是说它是不是一个好的模型。

说了这么多背景，现在终于可以理解我的这些科大同事做的是什么了。他们构建了一个光晶格，把超冷的Li-6原子囚禁在里边，让这些原子之间的相互作用正好可以用哈伯德模型来描述，也就是说，用原子来模拟电子。然后对这个体系进行测量，就相当于获得了哈伯德模型的解。

“天元”量子模拟器示意。红色和蓝色的小球分别代表自旋相反的原子，它们在三维空间交错排列，形成了反铁磁晶体。原子被光晶格囚禁在玻璃真空腔中。/制图：陈磊

他们首先做的是，在无掺杂的情况下，随着温度的降低，确实观测到了反铁磁相变。你也许会问，这不是单从理论就能预测的吗？没错，这正是他们的目的啊。要知道自己的量子模拟器对不对，是不是真正模拟了哈伯德模型，正应该找一个模型能够精确预测的现象，看实验是不是能实现这个现象。这是基本的校准工作，即benchmark。

论文图2a，三维费米子哈伯德模型在半满时的示意性相图（https://www.nature.com/articles/s41586-024-07689-2）。横坐标是哈伯德模型中两个参数U与t的比值，纵坐标是温度与t的比值。这个图表示，只要U > 0，就会发生由温度降低导致的反铁磁相变

千万不要以为这个benchmark很容易。实际上国际上早就有很多研究组在尝试对哈伯德模型的量子模拟，但从来没有成功过，因为这个基本的benchmark就做不出来。科大团队做出来了，所以至少可以说，我们的量子模拟器是正确的，它确实描述了它想描述的那个模型。

在这个基础上，他们引入一部分掺杂，仍然观测到了反铁磁相变，也就是说，哈伯德模型中的反铁磁相可以容忍一定的掺杂。这就很亦可赛艇了，因为这是经典计算机算不出来的。这对高温超导实验来说不算一个新结论，因为那里早就观察到这样的现象了，但对哈伯德模型来说确实是一个新结论，因为以前没人能精确求解这种条件下的哈伯德模型。这至少增加了我们对哈伯德模型能描述高温超导的信心。

论文图4a，有掺杂的三维费米子哈伯德模型在U /t ≈ 11.75时的示意性相图（https://www.nature.com/articles/s41586-024-07689-2）。横坐标是平均每个格点上的粒子数n，纵坐标是每个粒子的熵。这个图表示，在n偏离1（即半满）的一定范围内，仍然存在反铁磁相

具体而言，科大团队之所以实现这些突破，是因为两点技术上的重要进步。

一个是平顶光晶格。这东西听着像红太狼的平底锅，实际形状也差不多，意思就是让原子在空间中均匀分布，而以前的高斯光晶格导致的均匀性就很差。由于这个原因，以前的实验只能实现几十个原子的晶格，因为只有在这么小的范围里才能让t和U这两个参数比较均匀。说实在的，这么少的原子简直都不好意思称它为“晶格”。而现在科大团队能做到80万个原子的均匀晶格，一下子提高了四个量级，现在说它是个晶格就比较靠谱了。

平顶光晶格（ https://www.bilibili.com/video/BV1E4421U79B/ ）

另一个是低温技术。以前的实验肯定观察不到反铁磁相变，因为它们的温度都太高，高于反铁磁相变的温度即奈尔温度。而科大团队把各种制冷方法推到了极致，终于冷到了奈尔温度以下，所以能观察到反铁磁相变。关于制冷方法，可以参见墨子沙龙邀请“可视科学”团队制作的动画。

锂离子经光阱蒸发，进一步冷却

有了这样一个可靠的模拟器，下一步，我们就可以变化各种参数，来探索新物理。例如给反自旋的粒子之间一个人为的吸引力，即把U变成负的，让它们很喜欢待在一起，看看这时它们会不会自发配对。如果会的话，这其实就是对超导的传统解释，即BCS理论，这说明哈伯德模型有希望解释超导。如果不会，那就说明哈伯德模型不太可能解释超导，我们得寻找更复杂的模型才行，比如说它现在只有最近邻相互作用，我们再来加个次近邻相互作用。

模拟器的作用就在于此，可以人工调节模型形式和参数。最终，捣鼓来捣鼓去，我们就有可能理解高温超导，以及很多其他神奇的现象，甚至发现现在还完全没有想到的神奇现象。

最后，我们再来从量子计算的角度来谈谈这项工作的意义。我以前做过很多量子计算的科普，例如同样是科大团队的“九章”量子计算机系列。量子计算跟量子模拟可以说非常相近，都是用量子实验来解决数学问题。如果要说区别的话，就是量子计算处理的数学问题是有明确解析解的，只是这个解析解对经典计算机来说计算量过大，在正常的时间内算不出来，而量子模拟处理的数学问题没有解析解。

量子计算近年来实现了一个重要的里程碑，叫做量子优越性 （quantum advantage） ，即对于某些数学问题，量子计算机超越了最强的经典计算机。对于九章系列，这个数学问题叫做玻色子取样。还有谷歌的“悬铃木”和科大的“祖冲之二号”也实现了量子优越性，它们处理的数学问题叫做随机线路取样。但这两个数学问题，本身都还没有找到实用价值。它们其实就是为了实现量子优越性而造出来的问题，因为它们天生就非常有利于量子，不利于经典。但无论如何，这是一个了不起的里程碑，因为它说明，量子计算机确实有可能比经典计算机强。

祖冲之二号超导量子计算机

我们现在会说，量子计算与量子模拟的发展有三个阶段的重要目标。第一阶段就是量子优越性，这个已经实现了。第二阶段是用专用的量子模拟机解决重要的科学问题，例如求解哈伯德模型，这是当前的主要目标。第三阶段是通过量子纠错等技术，实现通用的、容错的量子计算机，这是长期的远景。

在这样的图景下，科大团队最近的工作可以称为第二阶段的一项里程碑性进展。它还没有把费米子哈伯德模型的低温相图完全探索出来，但已经为这项目标、尤其是为理解量子磁性在高温超导中的作用提供了工具。这就好比打开一个宝库的大门，前面有多少宝藏令人无比期待。

最后，我们需要说明一下，这样看似科学上的一小步，背后是许多人的长期艰辛努力。如果从2011年陈宇翱回到科大工作，跟潘建伟讨论把用超冷原子模拟哈伯德模型作为目标开始，已经有13年了 （ ） 。从姚星灿2017年担任科大教授，开始指导学生以来，也已经有7年了。这篇文章的共同第一作者王宇轩同学博士读了8年，他的博士学位还没拿到就开始作博士后，现在博士后都快出站了，然而博士学位还没拿到呢！因为他唯一的第一作者文章，就是这篇，熬到今年才发表。

论文共同第一作者王宇轩

陈宇翱是我的科大师弟，年龄也比我小，但你看他的头发现在花白到什么程度了，——我才不会说，这是因为他本来就少白头！

2013年的陈宇翱

2022年的陈宇翱

2024年的陈宇翱（左）、潘建伟（中）和姚星灿（右）

如果说，理解这项工作的科学原理需要超越99.9999%的人，那么你只要热爱科学，支持科学，你就和99.9999%的人站在了一起。

■ 作者简介

袁岚峰

中国科学技术大学合肥微尺度物质科学国家研究中心副研究员，中国科学技术大学科技传播系副主任，科技与战略风云学会会长，安徽省科学技术协会常务委员，中国青少年新媒体协会常务理事，中国科普作家协会理事，中国物理学会科普工作委员会委员，中国化学会科普工作委员会委员，入选“典赞·2018科普中国”十大科学传播人物。

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