埃舍尔艺术中的多面体绘制和几何构造

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本文重点介绍埃舍尔的图形作品，其中包括由柏拉图立体组合产生的多面体或复杂几何体的图像，其灵感来自晶体。这位荷兰艺术家被柏拉图实体及其衍生多面体的平衡感和完美感所吸引。本文通过概念图形的再创作，回顾了埃舍尔作品中反复出现的一些实体构成结构的几何起源。通过绘图，我们可以更好地理解这些实体的和谐感所依赖的集合规则和严格构造。本文通过图形几何重读，引导观察者更清晰地解读埃舍尔基于多面体的想象构型。这些实体的图像可以提供对各种关系和几何对应关系的直接而有效的视觉解读。

1 引言

迄今为止，埃舍尔的图形作品一直是众多重要研究的主题。许多学者关注他的艺术创作，特别强调他创作的构图所蕴含的数学思想。实际上，这位荷兰图形艺术家的作品是以艺术形式对数学概念的明显表达，具有强烈的抽象性。事实上，埃舍尔艺术的具象思想所具有的数学倾向，在他的作品中得到了明显的体现，那就是在他的作品中不断出现的严谨的几何结构[1]。通过几何图形，他将自己的幻想世界转化为图像，在这些图像中，现实与虚构、真实与虚幻交织在一起，呈现出非凡的美感。他的作品之所以取得巨大成功，其重要原因之一就是他能够赋予形象的数学合理性以艺术价值。

在艺术家的众多实验中，本研究探讨了表现实体、体积和三维结构的作品。我们特别分析了一些以多面体或由柏拉图实体组合而成的复杂几何体为特征的作品，其灵感来自晶体。埃舍尔曾写道："......晶体的基本规律令人叹为观止。它们绝不是人类头脑的发现；它们独立于我们而存在"[2]。因此，他一直热衷于制作三维模型，以再现晶体的几何形态--规则的多面体或其组合--这也是他图形创作的灵感和研究来源。本文旨在引导观察者更深入、更有意识地解读他所想象的几何世界。特别是通过图画和图形分析来突出一些典型作品所依据的构图规则。正如恩斯特写道："埃舍尔所追求的首先是关于平衡、结构和连续性的理念[......]。埃舍尔从不用语言表达这些想法，但他会在作品中巧妙地表达这些想法"。因此，这里介绍的图形研究试图揭示所分析作品的内在逻辑，目的是 "深入其创作的核心，并以此为感知艺术作品的方式增添新的维度"。

2 构图逻辑与几何变换

埃舍尔的几何方法在他的所有艺术作品中都很明显。自 20 世纪 20 年代到安达卢西亚旅行后，这位荷兰艺术家一直对镶嵌图形感兴趣。埃舍尔尤其对通过简单的几何变换对基本拼块进行适当处理，从而覆盖整个装饰表面的可能性印象深刻。在他的作品中，我们确实可以发现他同样善于将伊斯兰教所珍视的 "虚空的恐怖"（horror vacui）转化为图形，而根据马西侬（Massignon）的说法，这种 "虚空的恐怖"（horror vacui）与原子论的哲学观点密切相关。在此基础上，我们可以将世界视为原子的不稳定组合，即形式定义所依赖的单个粒子[3]。

因此，埃舍尔可以利用镶嵌所依据的几何原理，将费多罗夫于 1891 年[4]编码、波利亚于 1923 年[5]示意的 17 组对称转化为具有艺术魅力的图像。其中，简单几何变换的使用（通常是组合使用）产生了令人难以置信的各种形象。第一类包括所谓的 "自动变形"，即同构变换--平移、旋转、中心对称或轴对称、滑移反射等。这些变换虽然不改变起始图形的度量特征，但由于重复了构图的基本要素，可以对平面进行有规律的细分。第二组则包括符合一般投影法则的几何变换。最后一类是图形的变形，但它们保留了不变的投影特性。因此，我们可以找到这样的组合：例如，基本拼块被同调地缩小或放大（通过相似性），从而产生具有分形味道的插图。还有一些作品中，基本拼块经历了渐进的具象变形，在连续的阶段中完全改变了形状。在这里，几何形状栩栩如生，最后变成人物、植物和动物。当然，我们可以对通过这种变形产生的图像的视觉趣味、感知和心理价值进行各种考量。然而，埃舍尔善于利用这些潜力来创造三维形状，将基础拼块的模块性转化为内在的几何规则性，这一点值得关注。埃舍尔用 "天使 "和 "魔鬼 "的形象分割平面的研究具有代表性。该作品设计于 1942 年，但从未使用过，1960 年以 "圆极限 IV "为题出版，几年后被日本雕刻家用作球形雕塑的基础。如果说《天使》和《魔鬼》中的图像结构--完全基于同构并无限重复--是根据两条和四条对称轴来组织的，那么在圆形构图（《圆极限 IV》）中则使用了三条和四条对称轴。在这里，旋转与拟人化图像的同形变换相结合。最后，在球形构图中，对称轴变成了两条和三条 [6, 第 40 页]。然而，作为这些作品结构的基础，将互补而不留任何空隙的相同图形组合在一起的逻辑，在整体图形组织中仍然可以辨认出其原始、合理和几何的原则（见图 1）。

图 1. M.C. 埃舍尔。左：《天使与魔鬼》（1942 年）。中间：《圆极限IV》（1960 年）。右：具有相同图案的球形雕塑。

3 埃舍尔作品中的多面体和复杂固体

埃舍尔对水晶世界深深着迷，在水晶世界的启发下，一些实验又回到了对三维空间的探索。他和他的兄弟贝伦德-乔治（Berend George）都是地质学家，也是莱顿大学的教授，两人于 1935 年出版了一本关于普通矿物学和晶体学的论文集。这部著作以及与当时的数学家--首先是考克斯特--就这一主题交流的大量思考，激发了他对柏拉图实体的规则性以及由此衍生出的多元形式的浓厚兴趣。在这些实体中，边和角的一致产生了一种内在的对称，表现出和谐与完美。因此，他对创造三维模型一直充满兴趣，这些模型再现了晶体形式的几何图形--规则的多面体或它们的组合，是他图形创作的灵感和研究的源泉。因此，埃舍尔用不同的材料（金属丝、木头、有机玻璃等）和五柏拉图实体的不同构型制作模型。在某些情况下，他将这些模型视为独立的雕塑艺术作品（如 1958 年的木刻《带花的多面体》），而在另一些情况下，这些模型则是他二维图形创作的参考面[7]。

埃舍尔的具象作品包括简单或复杂的多面体，可分为两类。第一类包括图形阐述，在这些阐述中，这些实体作为构图的元素、前景中的主角物体或背景中的具象支撑物（《爬行动物》，1943 年；《星辰》，1948 年；《秩序与混沌》，1950 年；《引力》，1952 年；《带魔法丝带的立方体》，1955 年）以其纯粹的本质被使用。这些多面体赋予抽象空间以生命，突出了相对性或过渡的概念（从一个平面到另一个平面，或从二维表面到三维空间）（见图 2）。

图2：M·C·埃舍尔。左:《秩序与混乱》（1950年）。中心:《星辰》（1948年）。右图:《引力》（1952年）。

第二类作品中，实体成为建筑构图的一部分。在某些情况下，它们是建筑空间的装饰或完成元素（《循环》，1938 年；《瀑布》，1961 年），而在另一些情况下，它们则是空间配置的形式基体。例如，在《立方体空间分部石版画》（1925 年）中，埃舍尔构想了一种以直角排列的横梁结构--通过立方体接头连接--在长度相近的部分相互交叉。这样，全等的立方体在空间中重复出现。在《双平面木刻》（Double Planetoid，1949 年）和《四面体木刻》（Tetrahedral Planetoid，1954 年）等木刻作品中，建筑与多面体几何之间的联系更为紧密。（图3）

图3。M·C·埃舍尔。左:《瀑布》(1961)。中心:《双平面木刻》(1949)。右图:《四面体木刻》(1954年)。

特别是在第一幅作品中，两个正四面体--一个代表人类化的空间，另一个代表自然空间--根据埃舍尔所珍视的二元论原则，"相互渗透，在空间中波动，就像一颗行星，[......]它们共同构成了一个统一体，但却没有注意到对方"（埃舍尔，1959 年，14）。然而，在第二种情况下，他想象了一个世界，一个被球体包围的大型正四面体，其中垂直的元素朝向球体的中心，即重力的支点，而水平表面则支撑着球体的曲率。

但是多面体也可以被视为建造墙壁和结构的元素。在《扁平虫石版画》（1959年）中，埃舍尔确实探索了“非立方体石头【…】”组合的可能性。例如，您可以使用交替、四面体和八面体【…】。对人类来说，它不太实用，因为它没有垂直的墙壁，也没有水平的地板”（埃舍尔，1959，14）。结果是一个充满幻想的世界，几乎是矛盾的，但具有非凡的艺术兴趣（见图4）。

图 4. M.C. 埃舍尔。左：《立体空间分割》（1925 年）。右：《扁平虫石版画》（1959 年）。

4 多面体的绘制

埃舍尔作品的美隐藏在几何严谨性与表现力的结合之中。这种紧密的联系在多面体中得到了完美的结合 [8]。多面体的内在构造纯粹神秘，激发埃舍尔尝试平面规则分割和空间细分的各种可能性。与此同时，它们还让他与观察者玩起了游戏。通过他的绘画，我们可以窥见一个有时是不可能的世界，在这个世界里，人类和动物灵巧地活动着。

然而，埃舍尔的创造性想象力远不止简单地再现自然晶体（四面体、八面体或立方体）和自然界中的其他一些多面体的形态。他还将阿基米德的多面体和开普勒-普安索的多面体纳入形象化的曲目中。13个阿基米德实体源于柏拉图实体，是通过截去一些角或扩大实体而形成的。与柏拉图实体类似，阿基米德实体总是凸面的，其面由正多边形构成，并且在每个顶点上都有相同数量的面汇聚在一起。然而，这些面并不像柏拉图实体那样全等。另一方面，开普勒-普恩索的 4 个多面体并不凸，而是以 "星形实体 "的形式出现，具有规则且全等的多边形面[9]。在这些多面体中，约翰内斯-开普勒（Johannes Kepler，1571-1630 年）研究的前两个多面体具有五角星面，且都彼此相邻；路易-普恩索（Louis Poinsot，1777-1859 年）构想的另外两个多面体具有相互渗透的规则多边形面。因此，将更多相交的正方形实体组合在一起，就可能产生一系列无限的正方形组合形式 [10]。

从这些考虑出发，通过对概念图形的重新阐释，回溯埃舍尔作品中反复出现的一些实体构成结构的几何起源，似乎很有意思。这样做是为了更好地理解埃舍尔作品中的集合规则和严谨的结构，而这种和谐感正是这位荷兰艺术家的魅力所在[11]。

我们的想法是通过绘制，让人们看到这些实体栩栩如生的关系和几何对应关系，突出形式上的显著复杂性在生成矩阵中是如何等同于极端简单性的。例如，小十二面体是一种规则的实体，是五角星的二维类似物。这是由十二面体和倚靠在其表面上的十二个规则金字塔复合而成的形态。这相当于假定金字塔的高度使多面体的所有外部面（60 个等腰三角形）彼此全等。此外，这些等腰三角形每五个为一组，属于包含十二面体面的平面。后一种情况，只有当金字塔的顶点位于每个五边形边的延长线上时才会出现（见图 5）。

图5. 小十二面体的几何解释和表示。

同样有趣的是有关两个相等的正四面体的复合图形研究，这两个正四面体相互重叠，并以共同的几何中心相互对称。得到的实体被称为 Stella Octangula（八角星）。它的边缘在中点垂直相交。由此得到的核是一个正八面体。因此，该实体可以作为正八面体的增强体（八面体星状体）。正八面体可以刻在一个立方体中，立方体代表正八面体的凸面包络。立方体的顶点交替出现，是两个四面体的顶点。立方体面的对角线就是八面星状体的边（见图6）。

图6. 两个正四面体的交点和八面体核的识别。

我们重点讨论的最后一种情况与两个立方体的复合[12]有关。在图例中，两个立方体的对角线轴线固定不变，该轴线穿过相对的顶点，同时两个立方体中的一个旋转三分之一圈。同时，两个立方体中的一个围绕固定轴旋转三分之一圈[13]。绕固定轴旋转三分之一圈 [13]。埃舍尔将立方体-2 的复合体表示为开放晶格结构的形式。图中右侧的图形读数保留了起始柏拉图实体的体积构象，体现了旋转运动分为连续的通道（见图 7）。

图 7. 左图：M.C. 埃舍尔，《星星研究》（1948 年）。右图：埃舍尔所代表的多面体之一的几何变换图形分析（立方体绕对角线旋转两次，分别为 + 45°和 -45°）。

5 结论

本文以埃舍尔一些表现空间的作品为重点，旨在引导观察者更深入、更有意识地解读他所想象的几何世界。特别是，通过适当的图形分析和严谨的表述，我们希望强调这些作品所依据的几何构成规则。"埃舍尔所追求的首先是关于平衡、结构和连续性的理念[......]。埃舍尔从不用语言表达这些想法，但他会在作品中巧妙地表达这些想法"[6, 第 16 页]。因此，图形研究试图让所分析作品的内在逻辑一目了然，目的是 "进入他创作的核心，并以此为感知艺术作品的方式增添新的维度"[6, 第 16 页]。

参考文献

1. Schattschneider, D.: The mathematical side of M. C. Escher. Not. AMS 57(6), 706–718 (2010)

2. Escher, M.C.: Grafiek en Tekeningen, 1st edn. J.J. Till, Zwolle (1959)

3. Massignon, L.: Les méthodes de réalisation artistiquesdes peuples de l’Islam. Opera Minora III, 9–24 (1969)

4. Fedorov, E.S.: The symmetry of regular systems of figures. In: Proceedings of the Imperial St. Petersburg Mineralogical Society, vol. 28, pp. 1–146 (1891)

5. Pólya, G.: Uber die Analogie der Kristallsymmetrie in der Ebene. Z. Kristall 60, 278–282 (1924)

6. Ernst, B.: Lo specchio magico di M.C. Escher. Taschen Verlag GmbH, Köln (1996)

7. Schattschneider, D.: Escher’s polyhedral models. In: Proceedings of Bridges 2019. Mathematics, Art, Music, Architecture, Education, Culture, pp. 347–350. Tessellations Publishing, Phoenix (2019)

8. Senechal, M. (ed.): Shaping Space: Exploring Polyhedra in Nature, Art, and the Geometrical. Springer, New York (2013)

9. Beech, M.: Escher’s stars. J. R. Astron. Soc. Canada 86(4), 169–177 (1992)

10. Zefiro, L.: The compound of three octahedra and a remarkable compound of three square dipyramids, the Escher’s solid. Vis. Math. 12(3), 1–15 (2010)

11. Rossi, M.: Realtà e immaginazione: Nuove forme e antiche simmetrie. Disegnare Idee Immagini 38, 50–61 (2009)

12. Weisstein, E.W.: Cube 2-Compound. From MathWorld. A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/Cube2-Compound.html. Accessed 3 July 2020

13 Holden, A.: Shapes, Space, and Symmetry. Dover Publications, New York (1991)

14 Barbara Messina and Stefano Chiarenza:Drawing and Geometric Constructions of Polyhedra in the Art of Escher

青山不改，绿水长流，在下告退。

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