数学建模竞赛前必须熟练的三十种模型算法！

大家都知道参加数学建模竞赛除了论文之外，最重要的就是模型算法，而大家常常会遇到许多问题：

比如哪些算法模型会更加常用？不同题型应该用哪个算法模型？等等诸如此类的问题，所以今天数乐君就来大家总结一波数模竞赛常用的模型算法，希望可以帮到大家！

三大模型

在数学建模竞赛中有四大模型，分别是预测类模型、优化类模型、评价类模型以及分类模型，但常用的其实是三大模型，所以数乐君接下来会着重介绍这三大模型。

预测类模型

常用的预测模型：神经网络预测、灰色预测、拟合插值预测（线性回归）、时间序列预测、马尔科夫链预测、微分方程预测、Logistic 模型等等。

预测类题目通过分析已有数据或现象，找出其内在发展规律，然后对未来情形做出预测的过程。根据已知条件和求解目的，往往将预测类问题分为：小样本内部预测，大样本内部预测，小样本未来预测，大样本随机因素或周期特征的未来预测，大样本的未来预测。

应用领域：人口预测、水资源污染增长预测、病毒蔓延预测、竞赛获胜概率预测、月收入预测、销量预测、经济发展情况预测等在工业、农业、商业等经济领域，以及环境、社会和军事等领域中都有广泛的应用。

整体分析：预测模型难度中等。

拟合插值预测：基础简单、容易理解。

拟合算法：matlab拟合工具箱、准确…

插值算法：短期预测、完善补全数据、插值函数、拉格朗日插值法、三次样条插值法…

评价类模型

常用的评价模型：模糊综合评价法、层次分析法、聚类分析法、主成分分析评价法、灰色综合评价法、人工神经网络评价法等等。

数学建模中，评价类模型是一类比较基础的数学模型之一，往往是对应生活中的一些实际问题。评价模型用于对某个系统、方案或决策进行评估。通过构建合适的指标和评价方法，评价模型能够对不同方案的优劣进行比较和分析。

应用领域：某区域水资源评价、水利工程项目风险评价、城市发展程度评价、足球教练评价、篮球队评价、水生态评价、大坝安全评价、边坡稳定性评价。

整体分析：评价模型偏简单。

01.2021年国赛B题乙醇偶合制备C4烯烃；

02.2019D空气质量数据的校准

优化类模型

常见的优化模型：规划模型（目标规划、线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划）、图论模型、排队论模型、神经网络模型、现代优化算法（遗传算法、模拟退火算法、蚁群算法、禁忌搜索算法）等等。

数学建模中的优化问题在生活中也很常见，比如坐出租车时希望司机不绕弯路、走优化路线；逛超市时考虑各种优惠活动，希望获得最大优惠；企业推出新产品要综合考虑成本与市场吸引力，对资金进行优化配置等。这些问题都是“最优化问题”，也是数学建模中的典型问题。

应用领域：快递员派送快递的最短路径问题、水资源调度优化问题、高速路口收费站问题、军事行动避空侦察的时机和路线选择、物流选址问题、商区布局规划等各个领域。

整体分析：优化模型偏难。

01.切割木料、地板，使损耗最低、利润最高。

02.自然水管道铺设问题：图论模型（迪杰斯特拉算法 Dijkstra、克鲁斯卡尔算法 Kruskal）

十大算法

蒙特卡罗算法

算法简介：该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的方法。

应用举例：97年A题，每个零件都有自己的标定值，也都有自己的容差等级，而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108 种容差选取方案，根本不可能去求解析解，那如何去找到最优的方案呢？随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法，在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案，然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案，从中选取一个最佳的。

数据拟合、参数估计、插值等算法

算法简介：比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用MATLAB 作为工具，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系。

应用举例：98年美赛A题，生物组织切片的三维插值处理；94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算；还有“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。此类问题在MATLAB中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。

规划类问题算法

算法简介：这类算法包括线性规划、整数规划、多元规划、二次规划。竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键。

应用举例：比如98年B题，用很多不等式完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用Lindo、Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还需要熟悉这两个软件。

图论问题

算法简介：这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。

应用举例：98年B题、00年B题、95年锁具装箱等问题体现了图论问题的重要性，这类问题算法很多，包括：Dijkstra、Floyd、Prim、Bellman-Ford，最大流，二分匹配等问题。每一个算法都应该提前去模拟实现一遍，否则到比赛时再写就晚了。

网格算法和穷举算法

算法简介：网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。比如要求在N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，比如在[a; b] 区间内取M +1 个点，就是a; a+(b-a)/M; a+2 (b-a)/M; …… ; b 那么这样循环就需要进行(M + 1)N 次运算，所以计算量很大。

应用举例：比如97年A题、99年B题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用MATLAB 做网格，否则会算很久的。

一些连续数据离散化的方法

算法简介：很多问题都来源于实际生活，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。

应用举例：大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。

数值分析算法

算法简介： 如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。

应用举例：这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是MATLAB、Mathematica，大可不必准备，因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。

图象处理算法

算法简介：赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MATLAB进行处理。

应用举例：01年A题中需要你会读BMP图象、美赛98年A 题需要你知道三维插值计算，03年B题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB学好，特别是图象处理的部分。

模拟退火法、神经网络、遗传算法

算法简介：这类算法属于最优化理论的三大非经典算法，包括模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。 这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。

应用举例：97年A题的模拟退火算法，00年B题的神经网络分类算法，像01年B题这种难题也可以使用神经网络，还有美赛89年A题也和BP算法有关系。另外，03年B题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。

计算机算法

算法简介：这类算法包括动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等，是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。

应用举例：92年B题用分枝定界法，97年B题是典型的动态规划问题，此外98年B题体现了分治算法。这方面问题和ACM 程序设计竞赛中的问题类似，推荐看一下《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。

（*以上部分内容来源于网络，侵删请联系）

掌握了这些常用的模型算法之后，我们可以对从近几年国赛和数维杯数学建模竞赛的赛题进行大致分析，总体来说主要分为:机理分析类、数据分析类和优化类三种，其中优化类和数据分析类是最常见的赛题类型，几乎每年国赛美赛等均有出题，而数维杯近几年的赛题也基本分布在这三种类型，参赛选手可从ABC题中任选一题进行作答，与国赛赛题类型高度吻合，并且是国内唯一和国赛题型完全一致的全国性数学建模竞赛。

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