新定义“和距离”
2024年东城区九年级数学第28题
初中阶段数学学习过程中,关于距离的描述,我们先来捊一捊:
1、两点之间的距离
2、点到直线的距离
事实上它是基于两点之间的距离定义的,即直线外一点到垂足,这条线段的距离;
3、平行线间的距离
请注意,这个概念并不是在七年级学习平行线之后引入的,而是在八年级下学期学习了平行四边形之后引入,原因是学生在学习了平行四边形之后,对这个概念的理解会更深一些,也有更丰富的数学情景去应用这个概念;
4、点和圆的位置关系
事实上圆本身的定义中就包括两点之间的距离,毕竟圆是由到定点的距离等于定长的所有点的集合;我们判断点和圆的位置关系时,借助的距离是这个点与圆心的距离,本质上仍然是两点之间的距离,只不过要和半径进行比较;
由于圆的旋转对称性,通常情况下,将这个点放在经过圆心的直线上,再来看距离比较合适,这也是处理圆相关距离问题的通法;
5、直线和圆的位置关系
这就又回归到点与直线距离的定义了,只不过这个点是圆心;
6、圆和圆的位置关系
两个圆的圆心距,仍然是两点之间的距离,但要考虑半径对位置关系的影响;
综上所述,距离这个概念的基石,是两点间的距离,即连接两点线段的长度,后续所有相关联的概念,都要在它的基础上拓展,区别是“两个点”身份发生了变化。
2022版义务教育数学课程标准中,对这些概念的要求如下:
63页:理解两点间距离的意义,能度量和表达两点间的距离;
64页:理解点到直线的距离的意义,能度量点到直线的距离;
66页:理解两条平行线之间距离的概念,能度量两条平行线之间的距离;
我们在新课标附录2中找到对“理解”二字的解释,描述对象的由来、内涵和特征,阐述此对象与相关对象之间的区别和联系。
不得不说,对距离概念的要求,并不低,那我们如何检测学生对上述概念的理解程度,东城区这道新定义“和距离”给出了一份参考。
题目
解析:
01
(1)我们仍然先来阅读原题中的这段描述,以期准确把握,理解透彻,再去完成后面的题目。
“和距离”的描述较为简单,点P,两条直线,熟悉点到直线距离的学生,应该很容易联系到过点P分别向这两条直线作垂线段,这两条垂线段长度之和即为“和距离”;
回到题目中,两条直线是两根坐标轴,给出了三个点坐标,最普通的方法是对每个点求一次到坐标轴距离,再计算“和距离”;
稍用点技巧的方法,是将每个点横、纵坐标的绝对值相加,毕竟点到坐标轴的距离,我们在七年级学习平面直角坐标系的时候,就知道,可以用横、纵坐标的绝对值求解。
结果是P1和P2;
02
(2)直线y=-x+3经过一、二、四象限,而在每个象限内,点P关于x轴和y轴的“和距离”略有差别,因此我们需要分类研究:
第一象限,如下图:
由于直线y=-x+3与坐标轴的夹角为45°,因此上图中出现了以PA和PB为边的等腰直角三角形,利用它们,可以得到PA+PB=3,即“和距离”d=3;
第二象限,如下图:
显然,仅PB的长就超过了3,因此PA+PB>3;
第四象限,如下图:
显然,仅PA的长度也超过了3,因此PA+PB>3;
综上所述,直线在第二、四象限的部分,“和距离”d>3,而在第一象限部分,“和距离”d=3,所以最小值为3;
如果仅从纯代数角度来看,本题也有另外的解法,即设点P坐标为(x,-x+3),根据“和距离”的定义,d=|x|+|-x+3|,同样需要分类研究,分别是x<0时,0 3时,细心的朋友应该能发现,这正好对应前面方法中的三个象限,具体过程略过;
03
(3)先按要求作图,如下图:
首先观察直线y=√3x+6,它与x轴交点坐标是(-2√3,0),与y轴交点为(0,6),构成了一个特殊直角三角形,与x轴夹角为60°,此时的“和距离”d=PB+PC;
然后我们设法将PB和PC这两条线段转换成某一条线段,以方便我们求它的取值范围,基本思路是“化斜为直”,PC⊥x轴,因此我们转换目标是线段PB,不妨延长CP交直线y=√3x+6于点F,如下图:
我们可以求得∠BFP=30°,因此在Rt△BPF中,PF=2PB,所以我们需要找到一条线段,使其等于2PC,方法是利用轴对称,将线段PC关于x轴的对称线段找到,由于端点P在圆A上,所以我们将整个圆A关于x轴对称,得到圆A',则圆A'上的点即为点P',如下图:
现在上图中的线段PP'=2PC,于是FP'=2(PB+PC),我们只需要关注线段FP'的变化即可;
线段FP'的一个端点F在直线y=√3x+6上,另一个端点在圆A'上,这显然与点到直线的距离联系了起来,我们再次进行转换,只不过这一次是“化直为斜”,过点P'向直线y=√3x+6作垂线段P'M,如下图:
Rt△P'MF是含30°的特殊直角三角形,P'F=2P'M,于是我们完成了终极转换,P'M=PB+PC=d,“和距离”d变成了上图中的线段P'M;
当直线P'M过圆心A'时,即可找到线段P'M的最大值和最小值,如下图:
下面我们来计算A'M的长度,直线y=√3x+6与y轴交点为E(0,6),且点A'(0,-3),利用特殊直角三角形三边数量关系求出A'M=4.5,于是P'M最小值为4.5-1=3.5,P'M最大值为4.5+1=5.5,故3.5≤d≤5.5.
解题反思
本题的“和距离”新定义读起来并不困难,当然是指字面理解,给学生一个较为简单的环境,例如第1小题,通常这也是我们在新授课中达到的难度,用新课标中的描述就是“理解”,然而新定义题型最关键的当然不仅仅只有这个层面,而是要深入理解,并会"运用",这也是第2小题需要达到的高度;而在第3小题,需要学生利用新的概念,进一步探索,这也是新课标中较高层次的要求,作为压轴题,正合适。
从给学生讲题的角度,要把一道新定义题讲清楚,是不容易的,因为这个“清楚”是指学生理解透彻,如果平时概念理解不到位,任凭老师课堂上舌灿莲花,也是对牛弹琴。所以必须要反思我们的新授课教学,在每一个数学概念生成的时候,有没有“长偏”?
从命题角度,初中数学可用于进行新定义构建的概念随处可见,新课标既然要求学生用数学的眼光看待现实世界,实际上老师更应该具备这样的眼光,数学本身就有极为丰富的情景,可以容纳抽象的概念,并提供不同的理解角度,命制一道这样的新定义压轴题,并不容易。
从教学评价角度,能够顺利完成本题的学生,无疑具备了较高的数学素养,这样的学生自然能令老师省心,然而我们的教学,应该面向全体,所以更应该关注那些还不能顺利完成的学生,他们的理解究竟在哪一步出了问题?是什么问题?怎样解决这个问题?等等,有待我们在后续教学中完善。
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