都2024年了，为何比例正确的太阳系插图还是那么少见︱天文冷知识

2024年，随便打开一个搜索引擎，搜索「太阳系」，结果大概是这样的。

某度「太阳系」的搜索结果

或许你对天文学一窍不通，但直觉会告诉你这些太阳系照片看起来就不太真实。实际上，你能找到的结果中几乎不可能有按正确比例显示的太阳系照片。即使是教科书上的太阳系插图，不论是轨道半径的大小还是行星大小都没有按比例绘制。

人教版高中地理必修一的太阳系插图丨人教网

为什么正确比例的太阳系插图那么难找，是因为作图的画师们都不懂天文学吗？

这个事情可能还真的不是画师的锅。我们可以做一道简单的小学二年级数学题：已知太阳系最小的行星水星直径约5000km，八大行星中距离最远的是海王星，其半长轴约为30天文单位（AU），合45亿km，那么后者是前者的多少倍呢？不难发现海王星的轨道半径是水星直径接近一百万倍。把相差了六个数量级的两个物体以相同比例尺同时画在一张小小的插图上，不是画师不想画，而是

如果把插图画大一些呢？比如说，我们可以在常见的A4纸画出正确比例的太阳系八大行星以及他们各自的轨道吗？

A4纸的规格是297×210mm，即29.7×21.0cm。天文爱好者对于29.7这个数字应该会比较敏感，因为这很接近海王星公转轨道的半长轴数值（约30.11AU），因此我们不妨设定A4纸上比例尺为1cm=1AU，这样一张A4纸能显示的最大距离为纸张的对角线长度363.74mm，即不超过36.4AU。

在这个比例尺下，把太阳画在A4纸的一角，八大行星沿对角线一字排开，此时

• 水星轨道距离太阳约3.9mm（0.38AU）

• 金星轨道距离太阳约7.2mm（0.72AU）

• 地球轨道距离太阳约10mm（1AU）

• 火星轨道距离太阳约15.2mm（1.52AU）

• 木星轨道距离太阳约52.0mm（5.2AU）

• 土星轨道距离太阳约95.5mm（9.55AU）

• 天王星轨道距离太阳约192.2mm（19.22AU）

• 海王星轨道距离太阳约301.1mm（30.11AU）

画在A4纸大概长这样

又太阳直径接近0.01AU[1]，所以太阳在A4纸上的对应大小为0.1mm，这个大小已经接近人眼的分辨极限了[2]。即便是取极限（对焦距离10cm），肉眼的可分辨大小也不会小于0.03mm，按比例尺换算，此时直径在40万千米以下的天体无法在A4纸上准确分辨出大小，而行星中最大的木星直径也仅为14万千米，也就是说当我们在一张A4纸呈现八大行星正确的距离比例时，还是无法在同样的比例尺下分辨出除太阳以外太阳系天体的真实大小。

如果一张A4纸不够，那我们不妨再用一张。第二张A4纸可以看作是将在第一张A4纸上堪堪可见的太阳以及无法分辨具体大小的八大行星放大以后的效果。考虑到太阳和八大行星在体型上的巨大差异，在第二张A4纸上我们要尽量地把太阳画得大些，最好用满A4纸的宽度——210mm，那么这时候太阳在纸上占据的大小是一个直径210mm的圆。这个直径和第一张纸上的太阳比相差2100倍，那么第二张纸的比例尺是第一张纸的2100倍，即1cm≈71237km，巧合的是这个长度几乎就是木星的赤道半径（71492km）。也就是说在第二张纸上：

• 木星直径约为20mm

• 土星直径约为16.9mm，含土星环的直径为39.4mm

• 天王星直径约为7.2mm

• 海王星直径约为6.9mm

• 地球直径约为1.8mm

• 金星直径约为1.7mm

• 火星直径约为0.95mm

• 水星直径约为0.68mm

在23.8寸的显示器上全屏观看此图，效果与第二张A4纸接近

这个时候我们总算可以清楚分辨出八大行星了，行星之间的距离又是多少呢？在相同的比例尺下，如果太阳画在第一张纸的角落，

• 水星需要画在第23张A4纸上（以对角线拼接，下同）

• 金星需要画在第42张A4纸上

• 地球星需要画在第58张A4纸上

• 火星需要画在第88张A4纸上

• 木星需要画在第301张A4纸上

• 土星需要画在第552张A4纸上

• 天王星需要画在第1110张A4纸上

• 海王星需要画在第1739张A4纸上

这样似乎有些太浪费纸了。

既然水星个头最小，我们干脆以它为标准设计比例尺。按照一般情况下的水星可分辨直径计算（0.1mm对应4880km），比例尺定为1cm=50万km，这个比例尺大约是第一张A4纸的300倍，第二张A4纸的1/7。仍然采用纸张利用率最高的对角线画法，效果大概如下：

• 太阳直径约30mm，在第一张A4纸的角落

• 水星直径约0.1mm，在第4张A4纸上

• 金星直径约0.24mm，在第6张A4纸上

• 地球直径约0.26mm，在第9张A4纸上

• 火星直径约0.14mm，在第13张A4纸上

• 木星直径约2.9mm，在43张A4纸上

• 土星直径约2.4mm，含土星环的直径约为5.6mm，在第79张A4纸上

• 天王星直径约1.0mm，在第159张A4纸上

• 海王星直径约1.0mm，在第249张A4纸上

如果你正在用手机浏览回答，以上无序列表的标点就是天王星和海王星在这个比例尺下的大小。新方案和上一个方案相比节约了近85.7%的A4纸，效果拔群。

在最开始的A4纸上，我们发现肉眼无法分辨八大行星的真实大小，这其实与我们在面对现实星空的情况非常类似：我们无法分辨夜空中群星的真实大小，但我们实实在在地看到了它们。所以换个角度想，如果我们想办法让画在纸上的八颗行星「发光」，那么即便它们都在肉眼分辨极限之外，我们也能注意到。

夜空中所有恒星的视直径都小于肉眼分辨极限︱兹基派德

可以规定水星对应一个发光像素点，在维持比例尺不变（1cm=1AU）的前提下这个像素点的大小在0.3μm附近。其余行星对应的像素点数量按比例分配，虽然不管分配多少个像素点最后人眼看上去都只是一个点。

由于人眼的视觉特性，当我们看真实星空时，越亮的星星看起来似乎更大些[3]，伽利略曾经观察-2等的木星和-4等的金星，他发现更亮的金星看起来要比木星大8~10倍[4]。类似的，我们可以通过设计亮度梯度让人眼观察纸上的八大行星时产生星点大小有别的「错觉」。

顺带提一句，如果使用0.3μm的像素点铺满整张A4纸，总像素会相当于209亿个8K显示屏，像素密度是目前主流手机显示屏的100倍以上。

参考&拓展

[1]1.4E6÷1.5E8

[2]正常人眼最近对焦距离为10~15cm，0.1mm的物体在该距离下的张角为2.3~3.4角分，一般认为人眼角分辨极限为1角分

[3]https://www.zhihu.com/question/24113185/answer/26992311

[4]https://www.zhihu.com/question/22923983/answer/23108906

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