PT对称非线性波方程的理论与应用 | 现代数学基础丛书200

自20 世纪初经典量子力学被诸多著名物理学家(如普朗克、爱因斯坦、玻尔、康普顿、德布罗意、玻恩、狄拉克、薛定谔、费米、海森伯、泡利等) 创立以来，量子力学得到了飞速发展。特别是，1926 年薛定谔建立的Schrödinger 方程进一步加速了量子力学的发展，这充分说明数学物理模型在科学发展中的重要性。

现代科学技术的发展离不开量子力学，如半导体、激光、材料、量子计算、量子信息等。经典量子力学中的Hamilton 算子一般要求是厄米的，这样虽然能够充分保证其拥有全实谱，但非厄米Hamilton 算子能谱的实质性问题仍是未知的。直到1998年，Bender 和Boettcher 提出一种特殊的非厄米算子，即复PT(parity-time) 对称Hamilton 算子，其特征值也可能是实的，并且发展成为PT对称量子力学(简称PT 量子力学)。PT量子力学已经应用在很多科学和技术领域中，如量子力学、数学、光学、材料科学、半导体激光、微机电、传感器、电子系统、量子计算和信息等，且发挥着越来越重要的作用。因此，研究PT对称波方程的理论、方法及其应用具有重要的理论意义和应用前景。

中国科学院数学与系统科学研究院闫振亚研究员主要研究复杂非线性波、数学物理、可积系统、反散射与Riemann-Hilbert问题、怪波理论、PT-对称分析、符号-数值计算、PDE机器学习及其交叉应用等。自2007年开始研究PT对称非线性波的相关理论方法及应用等。（闫振亚等著. 北京：科学出版社，2023.12）基于符号-数值计算方法等，研究了不同PT对称势作用下线性和非线性波方程解的波结构和动力学性质等。该书是闫振亚研究员及团队十余年来在PT对称非线性波研究领域创新成果的系统总结。为了使内容相对完整，本书增加了一些有关量子力学的基础知识。

本书共15 章，主要针对具有物理意义的不同复PT 对称势，研究非厄米Hamilton 算子实谱的参数分布、非线性光学系统及相关领域中的非线性Schrödinger方程(其在Bose-Einstein 凝聚态中被称为Gross-Pitaevskii 方程)、高次非线性Schrödinger 方程、高阶非线性Schrödinger 方程、导数非线性Schrödinger 方程、Ginzburg-Landau 方程、非局域非线性Schrödinger 方程、三波相互作用耦合系统等的孤子解、相互作用、稳定激发以及动力学性质。

这些性质和结果可能激发量子力学、非线性光学与Bose-Einstein 凝聚态等相关领域的交叉应用，也为相关物理实验的设计提供理论基础和数据支撑。

• 第1 章是基础知识，简要介绍经典量子力学的发展历史和基本波动方程(线性Schrödinger 方程)、非厄米PT对称与PT量子力学的基本理论、PT 对称理论在可积与近可积非线性系统中的应用，以及分数阶量子力学中的物理模型等。

• 第2 章研究一维、二维及三维情况下具有广义PT对称Scarf-II 势的Hamilton 算子，以及聚焦/散焦Kerr 非线性光学介质中的孤子解及其动力学性质。

• 第3 章主要研究具有调和势的Hamilton 量，引入参数同步调控的PT对称势和空间变系数产生的非线性效应。通过数值求解Schrödinger 算子的特征值问题，讨论相应Hamilton 量的对称相变现象，研究带PT对称势广义非线性Schrödinger 方程中孤子的稳定性和绝热激发。

• 第4 章基于空间变系数的动量调控，在广义Gross-Pitaevskii 方程中引入不同种类的与物理上密切相关的PT对称势，分析非周期势能情形下的亮孤子和周期势能情形下的一维或多维隙孤子以及它们的动力学性质。

• 第5 章研究含PT对称周期外势调制的一维和二维广义非线性Schrödinger 方程，分析了有效质量调控对光束传播动力学行为及横向功率流的影响。

• 第6 章基于非均匀Kerr 非线性介质下的多维Schrödinger 方程，证明具有无界增益–损耗分布的PT对称复值势可以有全实的线性能量谱，以及稳定的空间孤立子和时空光孤子。

• 第7 章主要研究在散焦Kerr 非线性介质中构造一类新的PT对称有理函数势，并在一些特殊的传播常数点上构造出精确的非线性局域模态。

• 第8 章主要研究具有复值非厄米势的广义非线性Schrödinger 方程，并证明在幂律非线性作用下一大类新型的PT对称势都存在成族的稳定亮孤子解。

• 第9 章考虑了含PT 对称δ(x)-sgn(x) 函数势的非线性Schrödinger 方程，包括含PT 对称δ(x)-sgn(x) 势的线性谱问题，以及该外势作用下非线性Schrödinger 方程解的稳定性、相互作用和孤子绝热激发等。

• 第10 章基于导数非线性Schrödinger 方程，讨论方程中的导数非线性项和PT 对称势(以Scarf-II 势、调和–厄米–高斯势为例) 对光束传播动力学行为的影响。

• 第11 章基于三阶非线性Schrödinger 方程，在PT对称势(如Scarf-II 势和调和–高斯势) 作用下，构造其精确孤子解族，并讨论其稳定性。

• 第12 章主要考虑三次复Ginzburg-Landau 方程在近PT对称势作用下的孤子解及其稳定性，同时还考虑了含PT对称势的Hamilton 算子实谱的参数分布情况。

• 第13 章主要讨论非线性耦合PT对称系统的稳定性、可积性及非线性动力学行为，分别研究三次交叉耦合非线性项系统和五次自相位非线性项系统。

• 第14 章基于含PT对称势的非局域非线性Schrödinger 方程，分析三种PT对称势作用下线性算子问题实谱的参数范围和非局域非线性Schrödinger 方程的解及其稳定性。

• 第15 章主要针对二次非线性介质中PT对称的三波相互作用，分别对具有PT对称势的三波相互作用模型，以及两个耦合的PT对称三波系统展开研究，并讨论相应物理系统中非线性模态的稳定性。

作者感谢可积系统及其应用等领域的专家学者多年来对作者的帮助和大力支持，感谢国家自然科学基金委员会和中国科学院数学与系统科学研究院对本研究工作和本书出版的大力支持，感谢科学出版社胡庆家编辑对本书出版所做的辛勤工作。由于作者水平有限，书中难免存在不足之处，相关论著的引用可能有遗漏之处，敬请读者批评指正。

本文摘编自《PT对称非线性波方程的理论与应用》（闫振亚等著. 北京：科学出版社，2023.12）一书“前言”，标题为编者所加。

(现代数学基础丛书; 200)

ISBN 978-7-03-076535-2

责任编辑: 胡庆家 崔慧娴

本书可作为理工类高等院校数学、物理、力学等专业的研究生教材和参考书，也可供相关科技工作人员参考。

（本文编辑：刘四旦）

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