关于完全数的探讨

关于完全数的探讨

——数学科普和臆想

本来不想深入的研究这个问题，前面草草的发了两篇这方面的文章。结果一晚上没睡好觉，天不亮就起床打开电脑就把文章删除了。科学就是求真的，不认真有点亵渎科学精神了，不是我多么的伟大，而是良知会受到谴责。就算解决不了问题，也应该严肃认真，要对自己和社会负责。所以完全数问题的文章我重新修改了一遍，虽然不一定正确，但是我还是认真了，这就可以安慰自己了，做事问心无愧。

我们知道用等差数列的形式表示自然数，如果不加“空间”的限定条件，就是混乱的和荒谬的。不论如何用“语言逻辑”来辩解和解释，都是徒劳的和不符合“数理逻辑”的。也就是说如果用等差数列KN+A来表示自然数，一个自然数可以有许多的形式，只有确定了“全部自然数用那个‘空间’来表示，这时用这个等差数列形式表示的自然数，才会有确定的意义”。比如，自然数7，可以表示成N+6、3N+4等等，都是混乱的。只有确定了它在那个代表全部自然数的数列组里，它才会具有一定的指向和意义，这时它才是唯一的。

数学里的唯一性非常重要，定义和定理都不能模棱两可。

关于用“等差数列组”把自然数定义在不同的自然数空间里，这是我在“数论里”的重大发现，也彻底改变了数论的发展方向。

下面我用数列组4N+A来研究完全数，看数列组4N+A表格如下。

第一、这四个等差数列代表了全部自然数。

第二、其中数列4N+1和数列4N+3是奇数数列，其中包含了自然数中的全部素数，当然还有它们形成的合数。

第三、数列4N+2和数列4N+4是偶数数列，也是混合数列。

第四、同样，数列4N+1和数列4N+3中也有“合数数列”，它们的周期就是素数本身。比如，5K+1、11K+2等等。

我们分析这个表格，看前4个完全数有，

2X3=6、

2∧2 X7=28、

2∧4 X13=496

2∧8 X127=8128

等等。

大数学家欧拉有一个“完全数公式”，如下。

2∧(p-1)X 2∧p -1 (欧拉完全数公式)

其中，2∧(p-1) p取素数。这个是偶数列就是4、16、64…

2∧p -1 这个是我们熟悉的梅森数公式。这个公式前面有几个“梅森素数”，有些就不是素数了，就是7、13、127…。但是我给过证明，梅森素数有无穷多。

从欧拉完全数公式我们可以看到，只有梅森素数与2∧(p-1)相乘，才会出现“完全数”。

下面我们分析一下，

2∧(p-1)，即4、16、64…只能出现在数列4N+4中，因为数列4N+2也是偶数，但是可以写成2（2N+1）。数列2N+1=1、3、5、7、9、11…都是奇数，与2相乘后不会出现2∧(p-1)形式的偶数。

奇数2∧p -1 即7、13、127…出现在数列4N+3中。而这两个数欧拉完全数的乘积，只能出现在数列4N+4中，并且是一个偶数。

同样，数列（4N+2）X(4N+1)也会有乘积出现在偶数列2N+2中，但是数列（4N+2）不会有2∧(p-1) 形式出现，所以不会有完全数出现。

我们知道数列4N+3的素数是有无穷多的，而合数的周期都是按某一个素数的周期出现的，它们不会与梅森数2∧(p-1)的周期完全重合，所以梅森数里既有素数也有合数，并且素数是有无穷多的。就是数字太大了，太稀薄了，不好寻找。

即，偶数完全数有也无穷多。

奇数有没有完全数？

看偶数完全数有一个事实，偶数列相乘奇数列回到偶数列。我们看表格，有没有一个奇数列，两数列相乘后，回到奇数列？

有数列4N+3里的两个数相乘，进入数列4N+1。

比如3X7=21。

有数列4N+1里面的两个数相乘，回到数列4N+1里面。

我们讲点基础知识。

完全数是一个等腰三角形，它们的面积就有完全数，比如

1、3、6、10、15、21、28、36、n(n+1)/2……

通过上面的事实，我们注意到如果有奇数完全数也只能在数列4N+1中出现。

我们的研究是在前人的基础上的，出自网上的资料讲：奇数完全数必须是这行形式

p∧2*g 其中p是一个素数。

这个好理解，就是说那个等边三角形边必须是素数。

老外数学家欧斯丁证明了如果有奇数完全数，它的形式一定是这样的

12∧p+1或36∧p+1。

这样我们就会有一个公式：4N+1=12∧p+1

N=12∧p/ 4 （奇数完全数公式）

其中，N是项数、p是数列4N+1里面的一个素数。

从公式看奇数完全数是存在的，它在N=12∧p/4 里面。

这个结论我没把握，使用的一些别人的结论我无法证明是对的。

这篇文章方向是对的，里面问题很多，不是严谨的，但是我努力了。

欢迎使用，但是必须注明出处，剽窃可耻。

这篇文章的目的不是解决了问题，而是告诉研究数学的人们一个研究方向。

2024年2月19日星期一