长知识丨古人如何计数

如何计数，是人类社会从诞生之日起，就不得不面对的问题。那么，古人是怎样解决这个问题的呢？除了结绳计数之外，古人还用过哪些计数的手段和方法？

我们知道，人对世界的观察、思考和认识总是遵循由近及远，从熟悉到陌生的普遍规律，而人类思维的发展也是一个从简单到复杂的过程。按照这样的思路，远古的祖先最初对数的思考和表达一定也是通过身边熟悉的事物和唾手可得的东西。我们现在的物质世界极大丰富，各式各样的物品充斥左右，以至有时会发生选择困难症，然而对处于原始社会物资极度匮乏条件下的古人而言，这种选择却少之又少。

在这种情况下，如同把自己的身体部位作为丈量事物的尺度一样，利用自己的身体部件，比如十根手指来计数是古人最自然、最简单的选择。正如古希腊的伟大哲人亚里士多德所指出的：今天十进制的广泛采用，只不过是我们绝大多数人生来具有十个手指这个解剖学事实的结果。可见数学的产生从一开始就是跟人用手指计数这一简单质朴的表达方式联系在一起的。

然而用手指计数毕竟有其显而易见的局限性，人只有十根手指，如果要表达十以上的数字该怎么办呢？这时候，利用身边那些随处可见的小石子成为古人的另一种选择。把石子摆在地上，需要多少用多少，这也是一种简单直观的计数方法。其弊端是石子堆容易遭到破坏，不易保存，人们需要更加实用、有效的工具和方法。在这种情况下，通过在绳子上打结和在树木、兽骨等物体表面刻痕来计数，作为经济活动的辅助手段，成为在文字发明以前，古人使用最多的两种计数方式。

顺便提一句，在表示记录、记载的意义上，“记”和“纪”是相通的，既有人用“记数”，也有人用“纪数”。而“计数”中的“计”则是统计、计算的意思。后者更能准确反映我们在文中所要阐述的意思，即古人如何表达“数”的概念和计算数目。所以文中统一使用“计数”一词，但是当引用其他材料时，仍采用其本来的写法。

结绳计数和刻痕计数这两种古老的计数方式都曾经在相对长的时间范围内和相对广的空间范围内被广泛应用着。我国一直到宋朝以后，南方仍有结绳计数的做法。更有人考察得知，结绳计数直到20世纪中期一直在云南的少数民族地区延续着。而且不止是中国，世界各地的不同民族都有类似的计数方法。据说，古秘鲁印加族人（印第安人的一支）用来打结的绳子名为“魁普”（quipus），表示的数目清楚、完备，用来登录账目、人口数及税收数。而直到今天，在欧、亚、非大陆的某些地方，仍然有一些牧人用在棒上刻痕的方法来计算他们的牲畜数量。

文字反映文化。关于中华民族的原始文明，远古祖先的生活方式、思维方式等，我们可以通过分析汉字的古代形体得窥一二。前面提到，“数”字的古文形体就反映了结绳计数这种古文化现象。也有一些字，反映的是古人刻痕计数的习惯，比如“契”字。据考，“契”字的甲骨文形体只有现在的上半部分，近似于其小篆形体

，右边是一把刀，左边表示刻划的线条。因此，“契”的本义就是“刻”。因为刻的多是木，所以后来又在其下加了个“木”，成为“栔”。

再后来下面的“木”被错误地写成“大”，才有了今天“契”的字形。汉朝刘熙在《释名·释书契》中说：契，刻也，刻识其数也。清楚地说明了“契”就是刻，契刻的目的是帮助记忆数目。《诗经·绵》“爰契我龟”是说在龟甲上灼刻文字。后来，“契”也用来指代刻在兽类甲骨或竹木简上的文字。《周易·系辞》：上古结绳而治，后世圣人易之以书契。说的是后世用文字取代了上古的结绳记事，“书契”指的就是文字。因为这些刻有文字的竹木简经常被用作订立契约关系的凭证，因此“契”和“书契”也有“契约”的意思，我们今天常用的“地契”“房契”等词的意思正源于此。至于“契”字在“默契”等词语中表示情义相投的意义，则是后来发展出来的。

现在有的人在写“契”字时在其右上角的“刀”旁加一点，写成“刃”，这是不对的。要记住，“契”字表示刻，字形从“刀”。

另外，当刻讲的“契”，后来还被加上金字旁，写作“锲”，表示用金属刀雕刻之义。成语“锲而不舍”的本来意思是指雕刻一件东西的时候，一直刻下去不放手。用来比喻做事情坚持到底，不半途而废或者有毅力、有恒心。《荀子·劝学》中说：锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。既可以按照其本来的意思去理解，也可以按照其比喻义去理解。

继结绳计数、刻痕计数之后，聪明的古人又发明了一种更加高效的计数方式。他们用竹子、木头、兽骨等材料制成一些长短、粗细差不多的小棍子用来计算数目，不用时则把它们放在小袋子里面保存或携带。这些小棍子叫做“算筹”。《说文解字》曰：筹，壶矢也。《汉书·五行志》曰：筹，所以纪数。“筹”原本指的就是这种用于计算的小棍子，因为多用竹子制成，所以字形从竹。“算”则是指用这种竹制工具进行计算。二者合在一起，形成合成词“筹算”“算筹”。后来，“筹”和“算”各自都由“计算”之义引申出“谋划”的意思。我们现在经常使用的“筹划”“筹谋”以及“打算”“失算”等词的意义就是这样来的。

算筹是我国古代广泛应用的一种计算工具，它的出现年代现在难以考证，但据史料推测，至迟在春秋晚期战国初年时已经出现。算筹制作规范、体积小、便于携带，更利于精确计算，作为一种计数方式，显然要比结绳计数和刻痕计数成熟得多。事实也的确如此，一直到算盘发明推广之前，算筹都是我国古代最重要的计算工具。算筹计数法遵循十进位制，在世界数学史上是一个伟大的创造，跟世界上其他古老民族的计数法相比，具有显而易见的优越性。

说到这里，我们不得不说一说，我国古代在数学上的伟大成就的取得是跟古人对“数”的重视密不可分的。《后汉书·张衡传》中所谓“通五经贯六艺”，说的是张衡学识渊博，精通典籍，具备多种技能。关于“六艺”的所指，现代有不同的解释，其中一种根据《周礼·保氏》：养国子以道，乃教之六艺：一曰五礼，二曰六乐，三曰五射，四曰五驭，五曰六书，六曰九数。“六艺”是周朝官学要求学生掌握的六种基本才能：礼、乐、射、御、书、数。由此可见，古人对于“数”的学习要求和教育从那个时候就已经正式纳入教育体系了。正因为如此，才会有后来算筹、算盘等运算工具的发明以及《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《缀术》等数学经典的诞生。

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