量子力学100年（一）：物质波那些事儿

作者：杨贇彤，罗洪刚

兰州大学物理科学与技术学院和兰州理论物理中心，兰州 730000

量子理论与应用基础教育部重点实验室和甘肃省理论物理重点实验室，兰州 730000

摘要

1923-1927年期间，现代量子力学被创立。1923年，法国物理学家路易·维克多·德布罗意受阿尔伯特·爱因斯坦1905年提出的光量子同时具备粒子性和波动性特征启发，提出有质量的粒子也应该有某种波动性。1926年，埃尔温·薛定谔提出了一个波动方程，即薛定谔方程，描述有质量的粒子的波动行为，并称这种波为物质波。爱因斯坦曾评价德布罗意的工作“掀起了这幅巨大面纱的一角（lifted a corner of the great veil）”，而薛定谔的波动方程无疑是完全掀开了这幅面纱，但物质波却呈现出神秘的“蒙娜丽莎的微笑”。借用《道德经》中“道可道，非常道；名可名，非常名”的句式，物质波所描述的波-粒本性犹如“波是波，非常波；粒是粒，非常粒”。在现代量子力学建立100周年之际，我们简要回顾量子力学建立的点滴，温故而知新。

一、 粒子性和波动性

牛顿力学，或者经典力学的研究对象，根据其复杂程度以及感兴趣的性质，大抵可以分为质点（point mass）和质点系（point masses）、刚体（rigid body）以及连续介质（continuum），相应的力学则称为质点力学、刚体力学和连续介质力学[1]。

对质点力学，我们用位置和速度/动量描述每个质点的动力学状态。经典力学的关键要义是，质点或质点系中每个质点（粒子）的位置和动量是独立的，一旦系统的初态给定，在其后的动力学演化过程中，原则上任何时刻每个粒子的位置和动量均能同时精确确定。在非相对论情况下，每个粒子，除了它的位置和动量，其基本属性如质量、电荷等保持不变，这也是其粒子性的基本属性之一。这儿我们不讨论在相对论和高能极限下粒子的产生或湮灭情形。

连续介质力学情况，从我们的研究对象已经看不到具体的粒子了，而是连续介质（宏观物体如气体、液体和固体等）的性质如形貌、密度、体积等及其在外力作用下的响应性质。其中，波动性质是连续介质最重要的运动形式，如空气中的声波、水面的涟漪、固体材料中的横波和纵波等，这是连续介质波动性的基本体现。描述波的基本物理量是振幅、相位以及频率。波可以分为线性波和非线性波，分别用线性波动方程和非线性方程描述。线性波可以叠加，并表现出干涉、衍射等特征。非线性方程一般没有通解，但有特解，如孤立波等。特解可以表现出部分粒子的行为，如孤立波在特定条件下，相互碰撞后并不改变各自的运动特征，如波的振幅和运动速度，这样的孤立波也称为孤立子。流体中还有各种复杂的运动形式如湍流等，是流体力学研究的主要问题之一。

刚体力学，主要关注刚体的平动和转动特征，与目前讨论的问题关系不大，这儿不做过多介绍。

二、 光是粒子，还是波？

牛顿力学的研究对象是物质，由有质量的粒子组成。除了这样的物质，自然界还有另一类现象——光。光是人类认识自然界最早有记录和研究的物理现象之一。古希腊有相关的文献记载，如欧几里得的《反射光学》。我国的先贤，如墨子，对几何光学的研究记载于《墨经》，甚至比古希腊还早。我们不对这些最早期的典籍进行回顾，有兴趣的读者可参考相关资料[2]。我们来到17世纪，在这个时期近代物理学的开拓者们开始讨论光的本质是什么，即光到底是粒子，还是波？

牛顿（Isaac Newton, 1642-1727）对光，特别是太阳光做了许多研究，并认为光是由很多微粒组成。在当时，牛顿是知道，光经过一个小孔会产生所谓的衍射现象。牛顿把它归结于物体表面的“以太”气体的影响，是折射现象的一个特殊情况。与牛顿同时代的胡克（Robert Hooke, 1635-1703）和惠更斯（Christian Huygens, 1629-1695）则建议光是一种在“以太”中的纵波，与空气中声波的传播类似，并具体构造了光波在“以太”中如何传播。牛顿的光微粒说能够很好地解释光的反射，同时他假设稠密物质对光有较大的拉力作用，这样能解释光进入较为稠密的物质时的折射现象。牛顿最后将这些结果，包括他对光学的各种研究，总结在1704年出版的《光学》一书中。

由于牛顿的科学权威性，在其后的一个世纪时间内没有人对牛顿的光微粒理论有过挑战。直到19世纪初，英国物理学家托马斯·杨（Thomas Young, 1773-1829）在1802年通过他设计的双缝干涉实验，非常明确地表明光的波动本质。在1807年出版的一篇文章中，托马斯·杨详细地描述了他的实验结果，明暗相间的干涉图案充分证明了光是一种波。进一步的实验也表明，光的颜色与光的波长相关。而且，七种颜色的可见光能够合成为白光，与牛顿在一百多年前发现的一样。托马斯·杨的实验结果，否定了牛顿的光微粒理论。这些结果在当时仍然得不到认可，重要的推动来自于菲涅尔（Augustin Jean Fresnel, 1788-1827）的实验和理论工作。菲涅尔利用衍射装置，观察到一系列的明暗光带；通过改变衍射条件，观察明暗光带的定量变化，并根据光的波动性质，从这些变化发展相关的数学计算，预言了明暗线的位置，其关键是波振动的相位关系：同相（in-phase）或反相（out-of-phase）。菲涅尔的工作在1815年发表。1819年的“泊松光斑”故事是众所周知的，从而光的波动理论获得了关键支持。即便如此，关于光的偏振性质仍然从光的波动理论很难得到，而牛顿的微粒理论很容易解释。菲涅尔继续在光的偏振方面开展工作， 1817年菲涅尔第一次获得了圆偏振光，但与惠更斯的假设——光是纵波——不一样，光是横波。同样的结论也被托马斯·杨得到。此外，菲涅尔也通过双衍射实验进一步确认了光是横波这一属性。

关于经典光的波动理论的最强有力的理论支持，来自于麦克斯韦（James Clerk Maxwell, 1831-1879）的电磁理论，即麦克斯韦方程组。该方程组统一了电场和磁场，并发现电磁波是以光速c传播的，电磁和磁场的振动相互垂直，同时与传播方向垂直，从理论上证明了光是横波，与之前菲涅尔和托马斯·杨的结论一致。最终，光作为电磁波被赫兹（Heinrich Hertz, 1857-1894）在1888年实验证实。

至此，在19世纪末，肯定的结论是：光是波，不是粒子。

三、 光是波，也是粒子 ——光的波-粒二象性

19世纪末，甚至到20世纪初，物理世界大致分为两个部分：有质量的物质服从牛顿力学或者经过认识论和数学上不断升华和美化的经典力学形式，如拉格朗日力学、哈密顿力学、哈密顿原理等；无质量的物质如可见光和电磁波服从麦克斯韦方程组，在真空中以光速传播。这能从开尔文爵士（William Thomson, 1824-1907）在1900年的一个演讲中看出来，“现在的物理学没有什么新的东西可以发现了。剩下的事情就是做越来越精确的测量（There is nothing new to be discovered in physics now. All that remains is more and more precise measurement.）”事情果真如此吗？不是。在当时，光与物质如何相互作用以及相关热力学性质（辐射）的研究还处于初始阶段。基尔霍夫（Gustav Kirchhoff, 1824-1887）在1860年开始研究黑体辐射，即一个空腔，在热平衡状态下的热吸收和发射谱性质。基尔霍夫假设这个辐射密度应该是光波的频率和温度的普适函数，而不依赖组成空腔材料的具体性质。1893年维恩（Wilhelm Wien, 1864-1928）利用电磁学理论和热力学方程研究了这个普适函数，得到了维恩公式，但只是在高频有效。1900年瑞利（John William Strutt, 1842-1919）从统计物理学的角度提出一个关于热辐射的公式，即后来所谓的瑞利-金斯公式，这个公式只与辐射谱的低频部分符合，但在高频部分发散，这个非物理的行为被称为瑞利-金斯紫外灾难（Rayleigh-Jeans ultraviolet catastrophe）。在同年年底，普朗克（Max Planck, 1858-1947）在德国物理学会的一个会议上宣布了他的公式，即普朗克公式。利用这个公式，辐射谱从低频到高频的行为能够很好地拟合，但前提是黑体发射或吸收能量时，必须假设是离散的。这是一个“离经叛道”的假设，不但当时很多人并不特别关注，普朗克本人也不愿接受这个结果。事实的确如此。此后10余年，普朗克经过各种努力，试图消除这个能量吸收或发射时的离散假设，但均告失败，最后不得不接受这个假设。其他人的观点，大多认为是一种数学上的巧合，因此并不重视，除了一个人以外。

众所周知，这个人就是爱因斯坦（Albert Einstein, 1879-1955）。1905年爱因斯坦大胆地提出光量子（light quanta）概念：不只是在吸收或发射时能量是离散的（正如普朗克所假设），在光的传播过程中，光束是由光量子组成，光量子既不扩散，也不分裂，而是作为一个整体在空间中传播或被吸收 （In the propagation of a light ray emitted from a point source, the energy is not distributed continuously over ever-increasing volumes of space, but consists of a finite number of energy quanta localized at points in space that move without dividing, and can be absorbed and generated only as complete units.） [3]。这个想法，不但能够解释光电效应实验，在1907年爱因斯坦进一步扩展光量子概念到固体材料中的声子（振动量子，事实上，也是第一个针对有质量的物质提出的某种“量子化”概念的尝试），成功解释了固体材料比热的低温行为。光量子，后来（1927年）被称为光子，神秘地存在于时空中。问题是，物质吸收或发射光，为什么必须是一份一份的？答案只有一个，物质存在的状态本身就是离散化的。这儿不只是说物质是以颗粒形式存在，而是说它所处的运动状态本身就是离散的，这是现代量子力学告诉我们的结果。光子的这种能量离散，但在空间中以波动形式传播的性质，被称为光的波-粒二象性（wave-particle duality）。

至此，人们对光的认识为：光是波，也是粒子，即光具有波-粒二象性。

四、 有质量的粒子也是波吗？

让我们来到1923年，正好100年前。年轻，但不算太年轻（与同时代量子力学创立的英雄们比较起来）的德布罗意（Louis Victor Pierre Raymond de Broglie, 1893 - 1987）登场了。在这一年，德布罗意连续在法国科学院院刊发表了三篇文章[4, 5, 6]。第一篇文章，题目是“辐射——波与量子”，他提出有质量的粒子也有波-粒二象性性质，而这种波不是通常意义上的波，他称为相波（phase wave）。第二篇文章，题目是“光学-光量子、衍射和干涉”。他预言，“穿过一个小孔的电子束会表现出衍射现象。寻找我们的观点的实验验证，也许这是一个可能的方向。（A stream of electrons traversing a very small aperture will show the phenomenon of diffraction. It is in this direction that one has probably to look for experimental confirmation of our ideas.）”第三篇文章，题目是“量子气体运动理论以及费马原理”。他将他的想法应用到容器中的原子气体，并将原子气体用驻波描述。随后（1924年），德布罗意将三篇文章放在一块作为他的博士学位论文[7]，并在最后一章总结了有质量的粒子的波动性质，“我特意将相波的定义和与之可实现的周期现象表述得比较含糊，正如光量子概念一样。因此最好将这一理论考虑作为一种物理上的过渡阶段，而非一种已建立的学说。（I have left the definitions of phase waves and the periodic phenomena for which such waves are a realization, as well as the notion of a photon, deliberately vague. The present theory is, therefore, to be considered rather tentative as Physics and not an established doctrine.）”事实的确如此，比如物质波（matter wave）概念，并不是德布罗意提出来的，而是薛定谔在诠释波函数的物理意义时才提出。同样，德布罗意并没有明确提出波长λ和动量p之间的关系式：λ=h/p（h即普朗克常数），只是后来人们发现这一关系在他的论文中已经隐含了，就把这一关系称为德布罗意公式。德布罗意的这一保守态度（其实并不保守），反映了有质量的粒子的波-粒二象性的理解有多么地困难。其实，不只物质波的理解，连光量子的波-粒二象性的理解也远不清楚。正如爱因斯坦在1951年给好友贝索的信中写到[8]：“光量子是什么？过去所有50年的深入思考，并没有让我更靠近这个问题的答案。当然，今天每个声称他知道这个答案的人，其实是在欺骗他自己（All the fifty years of conscious brooding have brought me no closer to the answer to the question: What are light quanta? Of course today every rascal thinks he knows the answer, but he is deluding himself.）”。

在德布罗意1923年的工作的基础上，1926年，薛定谔（Erwin Schrödinger, 1887-1961）从经典力学和几何光学的类比出发，写出了物质波的波动方程，即薛定谔方程，漂亮地解决了氢原子光谱问题。当时人们对波动方程很熟悉，因此薛定谔方程受到了极大的欢迎。1927年，汤姆森（George Paget Thomson, 1892-1975）和里德（A. Reid）观测到阴极射线穿过薄膜后形成的衍射图样[9]；几乎同时，戴维孙（Clinton Davisson, 1881-1958）和革末（Lester Germer, 1896-1971）在观察电子被镍单晶表面散射时，发现了散射束强度随空间分布的不连续性，即晶体对电子的衍射现象[10]。这些实验上的发现证实了德布罗意提出的有质量的粒子具有波动性的设想。1929年，德布罗意被授予诺贝尔物理学奖，该奖项的贡献是“因为他发现了电子的波动本性”（“for his discovery of the wave nature of electrons”）。

到这时，人们对电子（有质量的粒子）的认识又进了一步：电子不仅是粒子，也具有波动属性。

五、 有质量的粒子的波动性到底怎么来的？

一个玩笑的回答：德布罗意提出来的。的确，德布罗意在他的第一篇文章中[4]，提出如下假设：

这儿， 表示粒子的静止质量，而这里的波动性来源于粒子的内蕴性质，德布罗意称这个内蕴的波为相波，它与粒子的实际运动保持协调（in-phase），按德布罗意的说法，这是harmony of phase。通常，这个相波可以用一个平面波来描述，但相波不能描述一个真实的粒子在我们四维时空中的运动状态。在四维时空中描述一个粒子，标准的做法是使用波包（wave-packet）语言。标准的教科书上[11]，通过分析波包的群速度与粒子实际运动速度一致，得到如下公式：

这个公式与光量子的表达式一致。 这是我们对粒子的波动性最原始，也是普遍接受的说法。 例如，2023年诺贝尔物理学奖获得者安妮·吕利耶（Anne L’Huillier, 1958-）在回答记者关于利用阿秒激光研究电子动力 学，是否违背海森堡不确定性原理时，仍然引用了波包概念： 电子是波包，它的位置与动量的关系，仍然满足海森堡不确定性原理。

但众所周知，波包假设有一个本质的困难：无论如何，波包随时间的推进是要扩散的。波包描述意味着粒子会随时间慢慢扩散，并充满足够大的空间。这与现实明显不符。现实中的粒子（如电子，这儿我们不考虑相对论性粒子碰撞问题）是恒定存在的，其大小并没有随时间变化，电子所携带的点电荷也并没有随时间弥散到足够大的空间，而是始终以点电荷的形态存在。现在普遍接受的波包假设是如何让粒子不弥散的，至今不得而知。所以，德布罗意提出的有质量的粒子的波动性（相波），并没有完全回答粒子的波动性（干涉、衍射等物理可观测行为）如何得到的。本质上，这涉及到如下问题：有质量的粒子所表现出来的干涉或衍射等行为，是粒子内在的（主动的）行为，还是由粒子本身及所处的环境共同决定的（被动的）？换句话说，用于描述粒子的波函数，其本质是什么？当然，这是一个目前仍然没有明确答案的问题（我们后文探讨），至少在哲学层面上如此。

我们以大家熟悉的原子为例，来进一步说明我们想表达的问题。一个原子，由原子核和核外电子组成并稳定存在。量子力学告诉我们，核外电子按照 …的轨道次序，能量由低到高排列。那我们要问，同样是电子（静止质量相同，所带电荷相同，自旋相同）为什么会排在不同的轨道上？如果波动性是内在的（主动的），那电子的波动性应该表现一样，而事实并非如此，因为电子排在不同的轨道上（当然电子是费米子，泡利不相容原理也在发挥作用）。那轨道是什么？不同轨道有什么不同？答案很显然，轨道是波函数，不同轨道，有不同的能量（动量）。所以，粒子波动性的具体行为，不是由粒子单独决定的，而是粒子自身与其所处的环境共同决定的。在这个意义上，量子力学中描述粒子状态的波函数，不是粒子单独具备的、个体的性质，而更像是时空中粒子自身与环境耦合（粒子所满足的边界条件和粒子与粒子之间的相互作用）所产生的某种模式（能级，这儿我们更愿意叫它图案，pattern）。在确定的条件下，这种图案本来就在那儿，它是一个时空中的模式，而满足这个条件（能量、动量、自旋）的粒子出现在模式所代表的波函数的什么位置，则是随机的。此外，固体物理中的能带图像或量子多体问题中的占据数表象（二次量子化），与上述所表达的思路是一致的。至此，给定一个有质量的粒子，如果知道它的能量和动量，那我们怎么知道它与什么样的图案匹配呢？当然是求解这个图案的形式（或波函数）。

上面的问题我们留在将来作进一步的讨论。目前我们还是回到有质量的粒子内蕴的波动性的讨论，正如一百年前德布罗意所做的。我们从粒子的相对论性能量表达式和德布罗意公式出发，细节如下：

利用德布罗意公式

（这儿，我们更愿意用 , 单位： 来表达作用量量子，而非标准的，普遍采用的普朗克常数 单位： 。我们将在以后撰文说明为什么这样做。）这样

其中， 是粒子的康普顿波长，而 是与粒子实际运动（动量 ，单位： 。同样，单位问题我们以后撰文说明。）相联系的波动性波长。对光量子 , ，这样将有质量的粒子和光量子的波-粒二象性统一起来：

这个统一的式子表明：有质量的粒子 和辐射（光量子， ）的粒子性有共同的起源： 作用量量子 。而波动性是辐射或粒子遵从某种运动模式所表现出来的性质。德布罗意公式则将物质（有质量的粒子和无质量的光子）的粒子性（动量）与波动性（波长）联系起来，被很多实验所验证。

六、 物质波那些事儿

在量子科技备受关注的今天，在大家将讨论的焦点聚集在量子纠缠等这类现代的概念上的今天，讨论物质波的波-粒二象性显得既过时，又落后。但一些基本问题，如什么是光量子，无论如何是回避不了的。事实上，正如爱因斯坦在1951年时说，他对这个问题的思考，仍然没有比他在1905年时得到的答案更多。70余年又过去了，什么是光量子，现在的理解更多了吗？

物质波的波-粒二象性，恰似“蒙娜丽莎的微笑”，似笑非笑：看嘴巴，会觉得她没怎么笑；看眼睛及面部整体，又会觉得她在微笑。类似地，借用《道德经》中“道可道，非常道；名可名，非常名”的句式，物质波所描述的波-粒本性犹如“波是波，非常波；粒是粒，非常粒”。

借现代量子力学100周年之际，我们回头唠唠物质波那些事儿，温故而知新，这是我们的动机。

致谢：特别感谢基金委理论物理专款对“兰州大学理论物理交流平台”（2010-2020）和“兰州理论物理中心”（2021-）的支持和甘肃省科技厅对“甘肃省理论物理重点实验室”的支持。

参考文献：

[1] J. R. Taylor, Classical Mechanics, University Science Books (2005)

[2] 百度百科词条：光学

[3] A . Einstein, On a Heuristic Point of View Concerning the Production and Transformation of Light, Annalen der Physik (1905).

[4] L. de Broglie, Ondes et quanta. Comptes Rendus 177 , 507–510 (1923).

[5] L. de Broglie, Quanta de lumière, diffraction et interfèrences. Comptes Rendus 177 , 548–560 (1923).

[6] L. de Broglie, Les quanta, la théorie cinétique des gaz et le principe de Fermat. Comptes Rendus 177 , 630–632 (1923).

[7] L. de Broglie,On the Theory of Quanta, PhD Thesis (1924)

[8] A. P. French, Einstein: A Centenary Volume, Letter to M. Besso, 1951 (p. 138)

[9] G. P. Thomson and A. Reid, Diffraction of cathode rays by a thin film. Nature 119 , 890 (1927).

[10] C. J. Davisson and L. H. Germer, Reflection of electrons by a crystal of nickel. Proc. Natl Acad. Sci. 14 , 317–322 (1928).

[11] A. Messiah, Quantum Mechanics, Dover Publications, INC. (1999)