建筑艺术的极致美学：文艺复兴时期的佛罗伦萨大教堂

来源：节选自《建筑中的数学之旅（修订版）》，人民邮电出版社·图灵文化授权发布

1296年，欣欣向荣的佛罗伦萨城开始建造一座大教堂，想要在庄严优美方面胜过托斯卡纳地区的竞争对手比萨和锡耶纳．圣母百花大教堂意为“花之圣母”，有一间矩形中殿和3间半八角形的后殿，中殿的拱顶是哥特式，内含拱肋．它的设计中最独特的地方是要求建一座巨大的穹顶，高耸在十字交叉处的上空．14世纪前半叶，施工进行得很慢．但到了1418年，耳堂已完成，耳堂的两个后殿也已用半穹顶遮盖，还建好了要在上面竖立穹顶的巨大八角形鼓座，如图4-27所示．该鼓座由沉重的哥特式拱和巨大的墩柱交替支撑．它由有弹性的砂岩建成，墙壁厚达4.6米．它的内八角形横截面直径为44.2米，上边界距离教堂的地面约为54.9米．

图4-27　有3个后殿和八角形鼓座的圣母百花大教堂平面图

到了用穹顶盖住八角形开口的时候了．1418年，指导大教堂建造的大教堂歌剧院委员会宣布举行穹顶设计和施工大赛．其中几个结构方面的问题已经确定．鼓座的尺寸决定了穹顶底面的大小，鼓座的形状意味着从底面竖立的穹顶横截面为八角形．但是，最让人望而却步的问题还没有解决．由砖、石、灰泥或混凝土建造的穹顶能达到44.2米的跨距吗？能建造一个传统的木拱鹰架结构，使它从地面到鼓座延伸54.9米并在施工过程中支撑穹顶吗？它是可行的吗？更糟糕的是，歌剧院宣布巨型外部扶壁很难看，并命令不能有这样的结构．但没有巨型外部扶壁，怎么限制大型砌筑穹顶必定会造成的相当大的环向应力呢？毫不夸张地说，建造这一穹顶遇到的难题没有任何先例可循．即使有先例，也一点都不清楚其是如何建造的．歌剧院采用的策略与建造米兰大教堂的建筑委员会相同，即“先建造，等时机成熟，再解决下一个问题”．

菲利波·布鲁内莱斯基（1377—1446）响应了歌剧院的公告．他是受过训练的金匠，但曾花大量时间参观罗马，研究古代罗马建筑的砌筑结构、施工技术以及建造拱顶的方法．布鲁内莱斯基给歌剧院提交了一个模型，用来表达他的概念和实践．他用模型作为实验品来验证他的施工方法．在规划大型结构时使用比例模型非常普遍，其历史可追溯到古代．他的模型由木头、砖和灰泥制成，规模足够大，委员会的成员可以在里面行走并检查它的内部．穹顶的中心垂直截面是哥特式尖拱．这种设计的坡度较大，可减小沉重的穹顶所产生的向外的侧推力．布鲁内莱斯基的穹顶设计要求内外都是砌筑壳．结构坚固的内壳会支撑并受到较薄外壳的保护，外壳会给穹顶带来挺拔的外形．布鲁内莱斯基的建议中最激进、最引发争议的是这一观点，即建造穹顶时不必使用从地面竖起进行支撑直到施工完成才去掉的拱鹰架结构．歌剧院心存疑虑，但最终还是被打动了．1420年，歌剧院认命布鲁内莱斯基作为两个主建筑师中的一个，领导施工．

同一年开始实施穹顶工程．记录显示任何时候所雇佣的工匠，包括石匠、砖匠、泥水匠和木匠，其数目都要少于100人．这个数目没有包括体力劳动者．优先考虑的工作是制作用于移动和举起建筑材料的升降机和起重机．可能受维特鲁威关于罗马人用来建造大型结构的机器的描述的启发，布鲁内莱斯基发明了一种大型的升降机，根据后来人们的评论，这种升降机使得“只用一头牛就能举起之前……【可能】需要6对牛拉才能举起的重量”．主升降机放在地上，由套上轭的几队牛或马拉动．它包括一个大型木框架和一系列新颖的木滑车、齿轮、传动装置、平衡物和用来缠绕或释放粗绳的转动卷轴．它能举起重达几千磅的负载．起重机用木杆、转动的水平横梁和可调节的平衡物建造，与现代建筑用起重机的运行很像．它们被设计成高踞在由穹顶已完成的墙壁结构所支撑的工作平台上，可以将建筑材料运送到施工地点．根据后来人们的评论，布鲁内莱斯基将佛罗伦萨亚诺河岸附近的一大片地方清空并压平．通过拉伸和转动绳索，工人能在沙上绘出穹顶及其构件的等比例平面图．穹顶石头拱肋和其他部件的模板可能就是用这样巨大的图制成的．

穹顶的施工过程依赖于3种关键操作：控制不断增高的外形、升高工作平台和连续垒砌环形的砖层．利用图4-28，我们先抽象地看一下工人如何保证穹顶向上弯曲的几何形状．它的几何学关键是八边形鼓座的内边．取一个xy坐标平面．考虑单位圆 x2 + y2 = 1 并取4个点 S1 = (1,0)、 S3 = (0,1)、 S5 = (-1,0)和 S7 = (0,-1)．4个点 S2、 S4、 S6和 S8 为该圆与两条直线 y = x 和 y = -x 的交点．因为轴线与直线 y = x 和 y = -x 的夹角都等于45°，则这8个点是正八边形的顶点．这个八边形代表鼓座的内边．点M是连接 S3 和 S4 的线段的中点．灰色线段代表从 S1 伸到M的绳子．绳子的长度很重要．为了计算它，先求得，再用坐标平面一节中的中点公式得

根据本节提出的距离公式，得到绳子的长度为

让绳子固定在S1 点，转动点M，得到x轴上的点C1．注意

则点 C1 非常靠近从 S1 到 S5 间路径的处．接着将绳子放在 S5 处，朝 S1 拉伸，得到点 C5．和上面一样，，则 C5 非常靠近从 S5 到 S1 间路径的处．

图　4-28

将绳子的一端固定在 C1 点，另一端拉到 S1 ，然后将绳子的这一端垂直向上转动．接着将绳子固定在 C5 点，从 S5 点垂直向上转动．用这种方法得到垂直平面内的一个拱，它包括交于一点的两个圆弧．点 S1 和 S5 为它的起拱点，C1 和 C5 为两个圆的圆心，T为它们的交点．图4-29(a)对此作出了演示．因为 S1 到 C5 及 S5 到 C1 的距离是 S1 和 S5 间距离的，该拱被称为哥特式尖拱，即意大利语quinto acuto．接下来，对线段 S2S6、 S3S7 和 S4S8 做同样的处理，又得到3个形状为哥特式五分之一尖拱的拱，每个拱都位于自己的垂直平面内．这4个拱从鼓座内八边形上的起拱点 S1、 S2、…、及 S8 处升起，均匀分布的4个拱确定了穹顶的内表面．这个表面有8块板子，每个板子在水平方向是平的，从八边形的8条边竖起．板子向内部弯曲，交于点T，如图4-29(b)所示．垂直的中心轴z轴为4个尖拱所确定的垂直平面的交线．内壳的哥特式五分之一尖拱还规定了它的外部的几何形状．与万神殿和圣索菲亚大教堂扁平的穹顶不同，圣母百花大教堂的穹顶直指天空．

图　4-29

布鲁内莱斯基让工人搭建了一个平台，它从图4-28中的鼓座边界向内伸出直到内圆．该平台的底部由固定在鼓座墙上的部分拱鹰架支撑，上边则由绳子拉住，绳子系在砖墙内锚接的铁环上．工人正是从这个平台上伸出corda da murare，即“建筑用细绳”来确定8块不断增高的穹顶内表面的曲面几何形状．鼓座的内侧并非完美的八边形．它的8条边各不相同，最长的17.2米，最短的16.6米．这也使得8块弯曲的板子的形状也各不相同．

穹顶两个壳的8个面很快开始增高，它们的形状受8个内表面的限制．两个壳在开始的20英尺左右，由琢石建造（琢石是指切割成矩形的大石块），之后则由比较轻的砖建造．琢石和砖都由灰泥粘合在一起．工人分成8组，这样两个壳的8个面就能同步进行建造，一次砌完一圈八边形．在砌这圈砖的过程中，需要对砖和灰泥结构进行支撑，以免其向里倒塌．但是，砌完一圈砖层后，它自身就是稳定的，受四周的壳挤压，不会移位．每砌完一圈砖后，不断增高的穹顶也是稳定的，不考虑圆孔，其稳定的方式几乎与万神殿相同．布鲁内莱斯基在提出不需要复杂的拱鹰架结构就能建造穹顶时就清楚这一点．穹顶使用了几种不同尺寸和形状的砖，包括矩形、三角形和鸠尾状砖以及带突起的砖等，总共有几百万块．为了让不断增高的双层壳更稳定，砖块以带水平箭头和向上螺旋线的联锁人字形图案排列．图4-30展示了两个壳内表面的砖结构，让我们看到了这一图案．

图4-30　两个壳内的人字形砖砌图案，Philip Holtzman和Rose Holtzman摄

鼓座附近，内壳的厚度约为2.3米，外壳的厚度约为0.8米，二者相差约1.2米．两个壳的厚度随着穹顶的增高而减小，但它们之间的厚度差距则不断增加．两个壳由24根砌筑体拱肋系统连接，称为支墩．两个壳之间的这些支撑部件从基座附近开始，一直到顶部都有．八边形壳的8个角，每个上面都有一个角支墩，每条边还有两个中间支墩．图4-31是穹顶的水平剖面，展现了这些结构．每条边的支墩厚度从较低处的约1.8米到较高处的约0.5米不等．在角落处的支墩厚度是其两倍．穹顶的主要结构构件是9个不同高度的结实的石拱券系统，它们都位于穹顶上部的地方，起到加固角支墩附近外壳的作用．它们在角落处最厚，越向两边越细，直到与两个中间支墩连在一起．图4-31在切割时穿过了这样的一组拱券．

图4-31　穹顶的水平截面图

4对砂岩链环绕着穹顶的壳，对它进行加固．它们由9英尺的矩形砂岩块制成，由铁钳夹在一起．除了石链，还有栗木梁制成的木链，由橡木段加固，用铁钉钉在一起．图4-32中穹顶的垂直截面图展现了鼓座和两个壳．该图标表明加强链和9组石拱券的位置．它还给出了一些结构部件距离教堂地板的高度．

图4-32　过中轴的穹顶垂直截面图．改自G. Fanelli和M. Fanelli的《布鲁内莱斯基的穹顶：一座建筑杰作的过去和现在》（Brunelleschi's Cupola: Past and Present of an Architectural Masterpiece），p180-181

穹顶于1436年建造完成．外壳的8块板子外面铺了30 000块宽38.1厘米、高50.8厘米的红陶瓦．（Terra cotta，意大利词，意为“烤干的土”，它用褐红色粘土制模，再在窑中高温烧硬．）板间有用白色大理石段建成的拱券，就铺在角支墩的外部．穹顶顶部留有一个直径约为5.6米的八边形开口，由连接内外壳的水平砌筑环箍紧．该环随后将要用来支撑采光亭．采光亭用白色大理石建造，有一个圆锥形的屋顶，它罩在穹顶的外部，用于内部采光，见彩图19和图4-33．1471年，人们在采光亭顶部放置了一个球和一个十字架，圣母百花大教堂终于完工了．

图4-33　穹顶内部一览，Chanclos摄

彩图 19　圣母百花大教堂及其穹顶和它在 19 世纪的大理石外部．Benjamin Sattin 摄

这座教堂长152.4米，宽38.1米，连穹顶有89.6米高，如果再加上采光亭，则高376英尺，一度是世界上最大的教堂．而今，罗马的圣彼得大教堂（见5.5节）和伦敦的圣保罗大教堂（见6.1节）的穹顶结构风格与它类似，但规模稍大．专家估计圣母百花大教堂的穹顶重约3万吨（内壳约为1.8万吨，外壳连同瓦和大理石段约8618吨，支墩约2722吨，还剩下约907吨为采光亭的重量）．事实上，它是1361吨重的圣索菲亚大教堂的穹顶（见3.1节）的20多倍，证明了这一穹顶具有重要意义，其规模在当时是空前的．圣母百花大教堂是人类所从事的最大胆、最让人印象深刻的工程壮举．

这座教堂外部和内部的许多装饰细节都是后来添加的，见彩图19和图4-33．图4-33中的湿壁画《最后的审判》（The Last Judgment）在穹顶约3994.83平方米的内表面上展开，它是在16世纪完成的．该画部分受到米开朗基罗在罗马的梵蒂冈西斯廷教堂天花板上绘制的《最后的审判》的启发．中殿的地板用大理石瓷砖铺成复杂的几何图案，在17世纪完成，精美装饰的大理石外立面则完成于19世纪．

在施工过程中，穹顶就开始出现裂缝．几年过去后，裂缝变得更宽了．4个主要的裂缝尤其需要关注．一份1985年出炉的详细的技术报告认为它们是由穹顶的巨大重量所产生的水平环向应力造成的．砌筑壳不够坚固，不能抵消这一应力，布鲁内莱斯基的石头和木链系统不能充分对它们进行限制．穹顶底部的支撑并不平衡，使问题更加严重．图4-34展示了交替支撑鼓座的大尖拱券和大型墩柱的顶部．不足为奇，4个墩柱对鼓座的支撑比4个拱券更有力，结果则使得拱券上方的4部分穹顶向下拉墩柱上方的4部分穹顶．图4-35是出现问题部分的简化受力分析图．该图展示了其中的两个墩柱、墩柱间的拱券和它们上方的那部分穹顶．墩柱向上的推力由两行向上流动的向量表示．箭头朝下的向量组代表拱券上方穹顶的向下的拉力．图4-35表明向上的向量受到向下拉力的影响而朝外偏转．这些偏转力在砌筑体上引起的张力与环向应力一起使墩柱所支撑的4个穹顶部分都产生了大的裂缝，在图中用虚的曲线表示．裂缝沿子午线至少延伸到穹顶往上处，并远达鼓座的大窗户下．它们对内外壳产生影响，其宽度从1英寸到3英寸不等．根据近些年检查过这些裂缝的结构工程师的报告，穹顶没有毁坏的危险，除非发生地震．不过，目前正在用高科技设备对上述裂缝、其他的裂缝以及其他的结构问题进行广泛监测，并用复杂数学来分析处理．这种详细检查的目标是确定准确的测量方法，保证这座杰出的建筑在接下来几个世纪里仍然稳定．

圣母百花大教堂是具有哥特传统的教堂．图4-33表明支撑鼓座的大型拱券是哥特式尖拱．图4-34告诉我们隔出中殿的拱券也是尖拱，中殿上方的拱顶是肋拱顶．穹顶垂直截面的五分之一尖拱也是哥特拱．但是，拱顶得益于布鲁内莱斯基对罗马建筑的拱顶的研究（例如，他们砌出带斜角的砖层）．这些方面以及促使布鲁内莱斯基完成这座非凡穹顶的自信将圣母百花大教堂与文艺复兴联系起来．

图4-34　Gryffinder摄

图　4-35

全书用“数学语言”介绍了埃及金字塔、帕提农神庙、悉尼歌剧院、毕尔巴鄂的古根海姆博物馆、圣彼得大教堂以及美国国会大厦等世界上最著名的建筑物。除了精美的建筑图片，书中还穿插了珍贵的设计手稿、结构示意图，体现了理性与感性相融合的建筑之美。

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