高中数学 | 等差数列求和公式七种方法和特殊性质！

卡卡说

高中各科学习具有知识量大、理论性强、系统性强、综合性强以及能力要求高五个方面的特点。

然而，知识点是零乱的，不利于记忆和掌握。只有把它们串起来，形成一个体系，才有助于快速高效掌握知识。我们需要做的，就是找到并运用一定的方法（尤其是思维方法）用“红线”把知识“串”起来。

今天，小编为大家汇集整理了高中数学知识框架图，方便同学们整体把握知识之间的联系。如果都掌握了，你的学习成绩一定会更上一层楼！

适用人群：高二、高三学生

适用范围：新高考适用

等差数列是常见数列的一种，可以用AP表示。

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。

而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。

（一）等差数列求和公式

1.公式法

2.错位相减法

3.求和公式

4.分组法

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。

5.裂项相消法

适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加时抵消中间的许多项。

小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。

注意：余下的项具有如下的特点

1、余下的项前后的位置前后是对称的。

2、余下的项前后的正负性是相反的。

6.数学归纳法

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：

（1）证明当n取第一个值时命题成立；

（2）假设当n=k（k≥n的第一个值，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

【例】

求证：

1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .……

+ n(n+1)(n+2)(n+3) =

[n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5

证明：

当n=1时，有：

1×2×3×4 = 24 = 2×3×4×5/5

假设命题在n=k时成立，于是：

1×2x3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .……

+ k(k+1)(k+2)(k+3) =

[k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5

则当n=k+1时有：

1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + ……

+ (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)=

1×2×3×4 + 2×3×4*5 + 3×4×5×6 + ……

+ k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

= [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

= (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1)

= [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5

即n=k+1时原等式仍然成立，归纳得证

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