庞加莱猜想：促使数学新领域大步发展的超级难题

“庞加莱猜想”是由法国数学家亨利·庞加莱于1904年提出的超级困难的猜想。到了猜想提出约百年后的2002年，俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼发表了证明猜想的论文。论文的正确性于2006年得到确认，终于给挑战的历史画上了句号。

迷倒了很多数学家的庞加莱猜想到底是什么？它对各科学领域又产生了怎样的影响？让我们来回顾一下数学家的挑战历史及其意义吧。

悬赏100万美元的千禧年大奖问题

2002年，一个很有意思的话题在数学界里流传，那就是互联网上出现了号称证明了“庞加莱猜想”的论文。论文的作者是俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼（Grigori Perelman，1966～）。

2003年4月，在美国纽约大学进行庞加莱猜想证明方法讲座的佩雷尔曼。

所谓庞加莱猜想，是由亨利·庞加莱（Henri Poincaré，1854～1912）于1904年提出的猜想问题。美国克雷数学研究所于2000年将其作为7个“千禧年大奖问题”之一并给出了100万美元（约650万元人民币）的悬赏。在过去大约一百年间，有很多数学家曾经尝试证明庞加莱猜想这个超级难题，但是都没有成功。所以在佩雷尔曼发表其论文的初期，据说大部分数学家都没有真正关注。

但是，当时美国麻省理工学院（MIT）的一位数学家确信该证明是正确的，并邀请佩雷尔曼对此作特别讲座。2003年，佩雷尔曼在麻省理工学院等3所大学举办了特别讲座。随后，很多数学家团队对其证明进行审核。证明的正确性于2006年被确认，终于为持续百年的庞加莱猜想挑战历史画上了句号。不过，虽然已经得到了证明，大家现在仍然习惯将其称为“庞加莱猜想”而非定理。

与猜想一同发展的“拓扑学”

简单地说，庞加莱猜想是被称为“拓扑学”(topology）的几何学领域里的问题。在中学阶段学习几何学时，我们主要是从大小、长度、角度等方面对图形的性质进行探索。而拓扑学则是通过拉伸、蜷曲等对图形进行连续变形的手段来研究图形的性质（但是不允许切开、黏合等图形变形手段）。拓扑学具有不在乎图形大小、长短等的特征，所以又被称为“柔软的几何学”。

经常被当做例子的就是甜甜圈和咖啡杯，这两个图形在拓扑学里被认为是同一种图形。为什么呢？因为甜甜圈和咖啡杯的孔洞数目都为1个，可以通过拉伸和蜷曲等方式把它们变换为对方的形状。像这样的关系就称为“拓扑等价”(同胚），而把孔洞数目这样在变形后具有不变性质的称为“不变量”。实际上，拓扑学就是庞加莱开创的几何学，是一个与庞加莱猜想的研究一同得到发展的领域。

何为庞加莱猜想？

庞加莱猜想所说的是“任何一个单连通的3维闭流形一定拓扑等价于一个3维球面”这样的内容。这到底是什么意思呢？

首先，所谓“单连通”，指的是“在某个图形表面画一条闭曲线时，对闭曲线进行收缩（想象为收紧橡皮筋的过程）后，最终一定能聚集成为1个点”(详述见后）。接下来，“流形”则是指满足某个性质的图形或者空间。因其实际的定义非常难懂，在此省略说明。读者们只要想象一下“能认识其局部但是对其整体并不是特别清楚的图形或者空间”。拿身边的事物举例的话，宇宙就是一个流形。

流形当中，大小并非无限而是有限的流形被称为“闭流形”。那么，“3维闭流形”又是什么呢？它虽然名字叫做3维，但其实指的是“4维空间（超立体）的表面”。很遗憾，对于居住在3维空间中的我们而言，很难想象4维空间的表面到底是什么形状。也就是说，谁也不知道3维闭流形和3维球面到底是什么样的形状。那么，我们把维度降低1维，试着对“2维闭流形”为何物进行考察。

所谓2维闭流形，指的就是“3维图形（立体）的表面”。我们生活的空间，因为有左右、上下、前后这样3个方向（维度），所以是3维空间。球体、骰子等立体图形的表面则是一个2维闭流形。其中，在2维闭流形里，球体的表面被称为“2维球面”。

那么，我们来考虑一下，在球体的表面放置一根闭曲线，然后对它进行收缩的过程（下图）。我们可以知道，闭曲线最终一定会聚集收束成一个点。也就是说，球面是单连通的。接着，再考虑在骰子表面放一根闭曲线并对其收缩的过程，我们也可以知道最终一定会聚集收束成一个点。也就是说，骰子的表面也是单连通的。所以球体和骰子的表面都是单连通的。

然而，“环面”上的情况又如何呢？环面指的是像甜甜圈那样开了一个孔洞的立体的表面。在立体表面对闭曲线进行收缩的过程中，闭曲线必须满足不能脱离这个立体表面的条件。但是，如果对上图右侧所示的2种闭曲线放置方式进行收缩，同时满足上述条件的话，闭曲线是不可能通过收缩聚集到一个点的。这对于有两个以上孔洞的情况也是一样的。也就是说，像环面这样包含孔洞的立体表面，就不是单连通的了。

对于闭曲线一定能够聚集成一点的2维闭流形来说，是不会存在孔洞的。这也意味着“任何一个单连通的2维闭流形一定拓扑等价于一个2维球面”。

庞加莱当时认为，把维度升高1维后，3维闭流形应该也存在着同样的关系。也就是“任何一个单连通的3维闭流形一定拓扑等价于一个3维球面”，这就是庞加莱猜想。

庞加莱猜想在4维以上成立

实际上，庞加莱猜想在4维以上的闭流形也成立的情况反而先被证明。5维以上的情况在1960年、4维的情况在1982年分别被证明。由于高维庞加莱猜想已经被证明，所以只剩下了3维的情况了。

在4维庞加莱猜想被证明后没多久，美国数学家威廉·瑟斯顿（William Thurston，1946～2012）发表了一个被称为“几何化猜想”的猜想。这个猜想说的是：“无论什么形状的3维闭流形，一定是由8种基本几何结构组成的。”

让我们把这个猜想放在2维闭流形上来看看。在拓扑学的世界里，2维闭流形可以分为以下3种：一个孔洞都没有的球面、有一个孔洞的环面以及多个环面横向连接的表面（具有两个及以上孔洞）。基于孔洞个数分类的理由是：这样可以表现出2维闭流形表面的性质。这里说的性质是指用来描述表面形状（曲面）弯曲程度的指标，即“曲率”。

首先，球面永远是向内侧弯曲的，所以其曲率是正数（下图）。其次，环面切割铺开后变成平面，所以曲率为零。而有两个以上孔洞的表面展开后会翘起来，变成被称为“双曲面”的曲面，所以其曲率为负数。对于3维闭流形的8种基本几何结构，也可以使用与曲率相对应的概念来分类。3维球面也是其中的一种。

数学家们已经知道，如果瑟斯顿的几何化猜想正确的话，就意味着无论什么形状的单连通3维闭流形就一定拓扑等价于一个3维球面。也就是说，如果证明了几何化猜想的正确性，庞加莱猜想的正确性也就得到了证明。

将3维闭流形漂亮地成形

意识到这一点后，很多数学家都开始认真投身于几何化猜想的证明。随后，其中的一个人、美国数学家理查德·哈密顿（Richard Hamilton，1943～）想到了使用被称为“里奇流”的方程式开展证明的方法。里奇流与表示热量随着时间慢慢扩散过程的方程式很相似。他认为通过使用里奇流，应该可以把复杂形状的闭流形慢慢地成形为漂亮的形状。基于此，他确信应该可以将所有的3维闭流形都分割成8种基本几何结构。

到1990年左右，在临近完成几何化猜想证明的时候，哈密顿却遇到了很大的障碍。在持续进行里奇流计算时，曲率会变得无限大，从而出现了非闭流形的空间，称为“奇点”。而哈密顿始终没能消除这个奇点。

突破这个奇点的人便是佩雷尔曼。他在奇点出现之前就把它找出来，在它快要成为奇点的时候，把闭流形分割开，并在分割后的闭流形上各自继续进行里奇流的计算。通过这种巧妙的方法，他终于彻底证明3维闭流形是由8种基本几何结构组成的。随后，他把这个结果总结成论文，并于2002年上传到互联网上。这篇论文的正确性如本文开篇所述，得到了数学界的确认。

拒绝与周围往来地佩雷尔曼

佩雷尔曼的功绩得到了认可，被授予称为“数学界诺贝尔奖”的菲尔兹奖。但是他却拒绝领取。另外，他也拒绝了千禧年大奖问题的100万美元赏金（这也是唯一一个得到解决的千禧年大奖问题）。实际上，自2003年在3所大学举行了特别讲座后，不知为什么，佩雷尔曼就突然断绝了与数学界的往来。这个轰动社会的事件使得庞加莱猜想不仅在数学界也在全社会广为人知。

另外，庞加莱始创的拓扑学也随着数学家对庞加莱猜想的不断挑战得到了巨大的发展。菲尔兹奖的获奖者中有一半以上都与拓扑学相关，可见拓扑学对数学的影响之大。

拓扑学不仅在数学领域，而且在物理学、生物学等各个领域也受到关注。例如，2016年诺贝尔物理学奖就授予了使用拓扑学思想探究物质性质的3位物理学者。如此，拓扑学已经成为科学界不可或缺的领域，可以说庞加莱猜想起到的作用与影响是不可估量的。

本文摘编自《科学世界》2021年第2期《庞加莱猜想》。

新媒 体编辑 | 张丽君

转载内容仅代表作者观点

不代表中科院物理所立场

如需转载请联系原公众号

来源：科学世界

编辑：紫竹与

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.