一元函数的极限与连续：学习要求、要点，内容小结、课件、典型题与单元测试题汇总

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函数与极限学习要求与要点：

1.1 学习要求

1、理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系．

2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性及有界性，熟悉基本初等函数的性质与图形.

3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.

4、掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．熟悉几个特殊函数的基本性质，如常值函数、绝对值函数、符号函数、取整函数、狄利克雷函数等.

5、理解数列与一元函数极限概念，掌握极限的基本性质：唯一性、有界性及保号性定理.

6、了解极限的 ， 定义，逐步加深对极限思想的理解.

7、理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系．

8、掌握极限的四则运算法则．

9、掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．

10、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较、无穷小与函数极限的关系.

11、会用等价无穷小量求极限．

12、理解函数在一点连续，在区间上连续的概念，会判断间断点的类型.

13、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会正确应用它们求解有关问题.

1.2 解题要点

本章解题主要问题是关于极限的计算和逻辑推理. 因函数连续的概念是利用极限的思想、方法引入的，所以有关函数连续的问题其实也就归结为极限问题.

• 求极限的基本方法

1、熟悉常见函数、数列的极限(包括无穷大情形)，运用四则运算法则和复合函数求极限法则求极限.

(1) 四则运算法则中参与运算的函数的极限必须存在，分母中函数极限不为零. 常常应用初等变形方法消去分母为无穷小的因子.

(2) 复合函数求极限法则，必须满足当 时 ，当 时 ， 且 时 ；或者 在 处连续.

2、应用函数(或数列)极限存在的充要条件：

求分段函数的极限则需分别计算左、右极限来判断极限的存在性与求极限.

3、利用两个重要极限，对 进行初等变形，化为重要极限的“形式”.

4、应用两个极限存在准则，进行极限计算和论证:

（1）应用夹逼准则时，要点是将 或 适当放大与缩小，构造夹逼“形式”，然后求得极限.

（2）使用单调有界准则时，通常先设法证明 单调、有界，再设 ，然后利用递推关系求解出 . 或者先假设极限存在，利用递推式计算得到极限值；然后基于极限的定义与夹逼准则验证极限就等于计算出来的极限值.

5、利用无穷小的运算法则，如有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，有限个无穷小的和或积仍为无穷小.

6、灵活应用等价无穷小代换简化极限计算.

• 函数的连续性与间断点

1、函数的连续性

函数 在点 处连续，由定义知必须同时具备下列 3 个条件：

(1) 在点 处有定义；

(2) 存在，或 ， 存在，且 ；

(3) 或

否则(以上三个条件至少有一个不成立)， 为函数 的间断点.

2、函数的间断点

若 是 的间断点，则当 和 均存在时, 为第一类间断点，如 ，则 为可去间断点；如 ，则 为跳跃间断点. 当 和 至少有一个不存在时，则 为第二类间断点，第二类间断点中有无穷大型、振荡型及其他类型.

初等函数在定义区间内都连续. 分段函数的连续性、间断点及间断点类型的判别，通常讨论分段点情况.

闭区间上连续函数性质的应用问题，往往比较困难. 求解这类问题能训练创造思维能力和灵活运用能力，其解题要点是构造辅助函数，将问题转化为函数的介值性或零点存在性问题.

内容总结、参考课件及相关资料：

知识点与题型解析：

典型习题与课后习题参考解答

单元测试与参考解答：

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