一个神奇的函数，将任意实数区间映射到整个实轴，打开数学新视角

在数学领域，约翰·康威（John Horton Conway）是一个响当当的名字。他是一位杰出的英国数学家，以其在组合游戏理论、群论、数论和编码理论中的贡献而著称。而在众多的数学成果中，康威的13进制函数尤为引人注目。这一神奇的函数不仅提供了对函数连续性和中值性质之间关系的新视角。

康威的13进制函数将任何实数区间[a,b]映射到整个实数线。

也就是说，对于任何实数区间[a,b]和任何实数y，总是存在某个x∈[a,b]，使得对x应用13进制函数得到y。这总是成立的，无论a和b多么靠近。不仅如此，13进制函数在任何地方都是不连续的。其发现的主要动机是作为我们即将讨论的中值定理（intermediate value theorem）逆命题的一个反例。康威从未真正发布过这个函数，它是通过口口相传传播开来的。

中值定理说：如果一个函数f在某个实数区间a到b上是连续的，那么对于任何位于f(a)和f(b)之间的y，都存在一个位于a和b之间的x，使得f(x)等于y。这是从数学上捕获函数的连续性的一种方式，因为曲线f(x)上不能有任何的间隙或跳跃。

为了理解为什么中值定理有效，考虑一个不连续的函数。如上图所示，存在一个跳跃，在这个跳跃中，可以找到一个位于f(a)和f(b)之间的值y，但在a和b之间不存在对应的x值，使得f(x)等于y。因此，中值定理说：如果f在区间a到b上是一个连续的函数，那么对于某个位于f(a)和f(b)之间的y，存在某个x，使得f(x)等于y，并且x位于a和b之间。这通常被称为中值性质。所以一个简化的版本是：所有连续的函数满足中值性质。

中值定理的反命题或对立命题是：如果f在区间[a,b]上是一个不连续的函数，那么存在某个位于f(a)和f(b)之间的y，使得不存在某个x，f(x)=y，并且x位于a和b之间。也就是说，这总是会发生在不连续的函数上。总结说，没有一个不连续的函数满足中值性质。

在这篇文章中，我将展示13进制函数满足中值性质，但在任何地方都是不连续的，这使其成为中值定理的逆命题的一个反例。但有一个前提，必须用13进制。

我们习惯于使用10进制，其中有10个数字0到9。在13进制中，我们引入了另外三个数字，由A、B和C表示，然后循环重复，经过10、11、12、到1A、1B和1C，直到20，依此类推。对于小数，情况略有不同。在10进制中，从0到1的数字步进为0.1，相差1/10。但在13进制中，它们相差1/13。

现在介绍康威的13进制函数。

首先考虑一个13进制的实数x，

如果在某个点我们找到一个以A开始的数字序列，然后是0到9的数字序列表示为x1、x2、x3等，接着是C，然后在C之后的所有数字可能是0到9，我们称之为y1、y2等，那么我们称这个数为类型A的数字（type A）。

同样，如果有一个数字，

在某个点有一个以B开始的数字序列，然后是0到9的数字序列，然后是C，其后只有0到9的数字，那么我们称这个数字为类型B的数字（type B）。定义类型A或类型B的数字的这些序列被称为类型A或类型B的尾巴（tail）。

13进制函数是一个条件函数，如果x是类型A，我们取A和C之间的数字作为输出的整数部分，C之后的数字称为输出的小数部分。因为我们定义所有这些数字为0到9，输出就是一个常规的10进制数。对于类型B的数字，做同样的操作，但取输出的负值。任何其他的数字都映射到0。

让我们通过一些例子来了解13进制函数。

这里有一个类型A的数字，A和C之间有1和3，后面跟着7，所以这映射到13.7。注意，我们从一个13进制的数字开始，最后得到一个10进制的数字。如果取同样的数字，把A改为B，得到一个类型B的数字。仍然在B和C之间有1和3，后面跟着7，所以这映射到-13.7。

现在，演示函数的不连续性，以及输入的微小变化如何导致输出的大差异。以这个数字为例，

它映射到10.11。如果在第六位小数点插入一个零，几乎不会改变这个数字，但输出将是原来的10倍。

为了绘制所有0到1之间的数字的函数，

我们先看到大多数都不是类型A也不是类型B，所以映射到0。然后有一个类型A的数字序列，形式为

其中X2和X4取值为0到9，和一个类型B的数字序列。

如果增加数字到五个小数位，会得到一个更广泛的图形。

仍然有类型A的数字：

和类型B的数字：

但这次由于额外的小数位，在y轴上现在有一个从0到100的范围。

记住，x轴是以13为基数的，所以第一个数字可以是0到C之间的任何一个。然后是类型A或类型B的尾部。

我们还看到在0.A处出现了新的序列，这次A和C之间只有一个数字，C之后有两个数字。还有一个类似的版本，但是是B类型。

从这里开始，增加数字的数量会增加13进制函数在x轴上可以取得的值的范围。大部分的值是零，并不妨碍这个函数将每个实数区间映射到实数线。

在任何两个数字A和B之间，都存在某个x，使得f(x)不等于0。我们将证明这为真，但不仅如此，我们可以使f(x)等于我们想要的任何值。

首先取任意区间a到b，不失一般性地，令b＞a。a和b可以尽可能地接近，但在某一点我们会发现一个小数位，它们是不同的。

所以，如果我们创建一个新的数字x，它与a有相同的数字，直到并包括它与b不同的第一个数字，然后使下一个小于C的数字变成C，这保证了a

在这种情况下，我添加了一个映射到1.01的尾部。

因此，因为13进制函数将任何区间[a,b]映射到实数线，我们选择的任何y值都将总是有一个对应的x在区间内。这意味着13进制函数满足中值性质，但在任何地方都是不连续的，这使其成为中值定理的逆命题的一个反例。