《数书九章》为何被誉为数学史上的经典之作？

中国古代数学长期在世界处于领先地位。宋元时期，中国数学迎来了一个辉煌高峰，涌现了一批卓越的数学家，秦九韶就是其中的杰出代表。他与李冶、杨辉和朱世杰并称“宋元数学四大家”，所著《数书九章》被誉为数学史上的经典之作，取得的很多成就具有世界性意义。

▲图片来源学习时报

（一）

秦九韶（约1208—1268年），字道古，南宋中期出生在普州（今四川安岳县）一个工程官员之家。

在家庭的熏陶下，秦九韶自幼就耳闻目见各种测量和计算知识，由此奠定了良好的数学基础。青年时期，他随父亲到南宋都城临安生活，认识了许多熟悉历法且精通数学的历算家，由此接触到了高级数学知识。此外，他还拜一位隐居的数学家为师，系统学习数学思想和方法。成年后，秦九韶先后在湖北、四川等地担任地方官。政务之余，他坚持不懈地钻研数学，数学素养不断得到提升。

从1244年起，秦九韶居家为母亲守孝3年。在这段时间里，他将主要的注意力和精力都集中到数学研究上，系统整理了之前工作中遇到的贸易往来、桥梁修建、田地测算、军事工程营造等实际数学问题。在解答这些问题的过程中，他逐渐形成了自成一家的数学思想和方法。秦九韶将这些数学问题和解答汇编成书，于1247年写作完成，这就是誉满天下的《数书九章》。

（二）

《数书九章》是一部被广泛认可的数学经典，不仅在中国闻名遐迩，在国际上也享有盛誉。它在一次同余方程组、高次方程数值解法、三斜求积公式等多个领域取得了世界级突破，成为世界数学史上的重要里程碑。

《数书九章》全书采用问题集的形式，计81个数学应用题。秦九韶按性质将这些问题分为九大类，分别是“大衍”“天时”“田域”“测望”“赋役”“钱谷”“营建”“军旅”“市易”。每一类有九个例题，每个例题基本由“问曰”“答曰”“术曰”“草曰”四部分组成。“问曰”是实际生活中的数学问题，“答曰”是问题的答案，“术曰”阐述解题原理和方法，“草曰”给出解题的详细过程。虽然只有81个例题，但每一个例题都代表着某一数学分支的理论、方法和应用。

《数书九章》中最重要的成就是推算出解一次同余方程组的通用方法。成书于四、五世纪的中国数学名著《孙子算经》记载了一个有趣的数学问题，大意是：有一些物品，按3个一组分组剩2个，按5个一组分组剩3个，按7个一组分组剩2个，这些物品有多少个？这是一个典型的现代数学一次同余问题，解题思路是列出方程组求解。《孙子算经》虽然给出答案是23，并简单介绍解法，但这种解法只限于各个“定数”（现称为模数）全都两两互素的特殊情形。而秦九韶在《数书九章》中则将之推广到“定数”为非两两互素的情形，并推算出解一次同余方程组的一般方法，创造性地得出数学定理，使得同类问题得到彻底解决。在国外，直到十八、十九世纪，才由大数学家欧拉和高斯对一次同余问题进行深入研究，分别独立地获得与秦九韶相同的定理。由于秦九韶的突出贡献，这项定理被国际数学界誉为“中国剩余定理”。

秦九韶另一个重大成就是把高次方程数值解法推进到一个新阶段。他在《数书九章》中提出了一元多项式高次方程的一般解法，用于开高次方根和解高次方程。这种方法是将一元ｎ次多项式转化为ｎ个一次多项式的反复循环运算，由此大大简化了计算难度，提高了计算速度。这种方法在现代数学计算中仍普遍使用。在西方，这种方法被称为霍纳法则，它由英国数学家霍纳于十九世纪初提出，晚于秦九韶500多年。

在几何学领域，秦九韶也为中国传统数学填补了重要空白。他在《数书九章》中给出了已知三角形三边求三角形面积的一般公式。这个公式与古希腊数学家海伦的公式虽然存在形式上的不同，但两个公式是等价的。为纪念两位数学家的卓越贡献，国际数学界将公式命名为海伦—秦九韶公式，这充分表明中国古代数学在三角形面积计算领域达到了世界一流水平。

在数学思维的创新上，秦九韶同样是一个划时代的人物。他创建数学模型来解决实际问题，形成“实际问题—数学模型—算法求解”的思维运算过程。在《数书九章》中，他利用比例问题模型解决军器工程问题，又利用数列模型解决军事布阵问题。这种数学建模的思想在当代数学仍然广泛应用，不断彰显着跨越时代的光辉。

计算是中国古代数学的优势所在，但与古希腊数学体系相比，中国古代数学的符号化略显不足，而秦九韶在数学符号化领域恰恰作出重要贡献。《数书九章》的81个问题中，26个问题的解答有数码和连线构成的图示。这些图示详细描绘出运算过程，使得读者可以更加深入地理解和掌握相关的数学知识，也为后来的数学家们提供了重要的参考和借鉴。当代人对中国古代数学运算详细过程的了解正是始于《数书九章》，在这之前的中国数学著作，往往只记载计算结果和运算思路，对运算过程记载不详。《数书九章》提供了一个窗口，让后人可以更好地欣赏和体味中国古代数学的深奥智慧。

（三）

《数书九章》成书后，长期只有抄本流传，后在明代初年收入《永乐大典》中。清代乾隆年间组织编撰《四库全书》，编撰者又将之纳入其中。由此，《数书九章》逐步流传开，进而在清中期引发一个研究高峰。

十九世纪以来，《数书九章》开始走向国际，陆续传到朝鲜、英国、美国、德国、法国、比利时等国，受到了各国数学家的广泛关注，并得到了高度认可。被誉为“科学史之父”的美国科学史家乔治·萨顿认为秦九韶是“他的民族、他所处的时代，乃至一切时期的最伟大数学家之一”。在当代中国，《数书九章》也逐步成为数学界研究的热点。首届国家最高科学技术奖获得者、中国科学院院士吴文俊先生被秦九韶的数学智慧深深折服，主编出版《中国古代数学家秦九韶与数书九章研究》，推动相关研究达到新的高度。

《数书九章》之所以持续引起学术界的关注，是和它在数学史上的崇高地位分不开的。《数书九章》是继《九章算术》之后中国数学的又一个高峰。中国数学以计算为基础，寓理于算，与遵循古希腊传统的西方数学的公理化演绎体系交相辉映。中国数学的这种特点在《数书九章》中得到了充分体现，它充分证明中国数学在一千年前已经发展到了极高的水平。

当今社会，随着计算机技术的飞速发展和互联网时代的到来，计算和大数据已成为现代社会的核心，而数学作为计算机科学的基础，也因此得到了更加广泛的应用和发展。在这个背景下，《数书九章》中的计算智慧和数学建模思想显得格外重要和有意义，它可以为我们在信息技术、数字技术、人工智能等领域中探索新的思路和方法提供启示。（完）

作者/孙庆峰