埃舍尔圆形极限的秘密：四边形和三角形生成双曲镶嵌

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四边形和三角形技术是在中世纪时期发展起来的，用来提供一种比例顺序，暗示着生殖潜能。通过非欧几里得系统的视角重新考虑四边形和三角形技术使得能够探索新的图案生成方法。本研究调查了通过双曲线镶嵌的四边形和三角形技术的图案生成潜力。

介绍

在中世纪建筑中，比例对于提供神圣的秩序至关重要[1]。几何形状按顺序和对称排列，以确定比例。四边形和三角形技术是基于几何形状之间的比例的方法[4]。这些技术应用于平面、剖面和立面。它们被用来确定建筑物的宽度和长度比。此外，拱顶结构的几何形状也是用这些技术创造的。此外，这些技术开发的图案甚至被用于装饰元素，如玫瑰窗。

圆是四边形和三角形技术中使用的几何基础。绘画首先从一个圆圈开始。通过生成多个圆，由圆的交叉点生成几何形状。复制这些形状之间的关系，并提供几何顺序。这些技术背后的几何顺序是基于欧几里德几何的。用这些技术产生的图案可以在期望的方向上不断地复制和扩展。此外，具有相同基本几何形状的不同图案可以组合在一起。

双曲线镶嵌是非欧几里得的图案，并且像四边形和三角形技术一样在圆的边界内发展。双曲线镶嵌有一个几何上特定的系统。然而，其中包含的几何形状有待改进。用不同的图案支持这些表单可以作为表单查找的一种方法。本研究旨在讨论基于欧几里得几何的四边形和三角形技术在用非欧几里得系统解释时的生产潜力。这项研究通过双曲线镶嵌解释了中世纪技术提供的生成系统。

四边形和三角形技术

四边形和三角形技术从一个圆开始。在四边形技术中，在圆内画一个正方形，它与圆有四个点接触。为了创建八边形，正方形旋转了45度。通过将正方形分成更小的正方形，可以获得不同的几何图案。该图案可以在任何方向复制和再现。三角形同样以圆形开始。在圆内画一个等边三角形，与圆有三点接触。三角形绕其中心旋转180度以创建一个六边形。可以通过将三角形分成更小的三角形来形成图案。

用四边形和三角形技术发展出来的比例被用在哥特式建筑的许多地方。这项研究集中于用这些技术开发的哥特式拱顶平面图。当检查哥特式大教堂的结构时，从一个圆形创造的各种各样的图案就很突出了。其中一个哥特式拱顶的例子是位于库特纳霍拉的圣巴巴拉教堂。六边形几何形状形成了拱顶结构。与圆有三点接触的等边三角形绕质心旋转180度，得到六边形。假设六边形的每个角都是新圆的中心。画六个相等的圆，得到一个花卉图案。复制图案以匹配六边形边缘(图1)。

图1：圣巴巴拉教堂的三角形技术

图案是通过各种转换(如分割、旋转和平移)开发的。通过这种方式，可以获得不同的图案，尽管它是由简单的几何形状产生的。在这方面，可以说四边形和三角形技术是图案生产的生成技术。因此，这些技术具有开发潜力和发展空间。

双曲镶嵌

镶嵌(或密铺)描述了用几何形状覆盖平面。可以将相同的几何形状并排排列，连续重复，也可以将不同的几何形状组合在一起，产生镶嵌。镶嵌用Schläfli符号表示。Schläfli符号用{p,q}表示。变量p表示在镶嵌中使用的几何形状是p-gon。变量q定义了有多少个几何形状在顶点点[3]相邻。例如，{3,6}Schläfli镶嵌符号表示一个三角形覆盖和三角形顶点处6个三角形的组合。同样，{6,3}的符号表示密铺六边形和3个六边形在角点的组合(图2)。

图2：带有Schläfli符号的镶嵌

镶嵌不仅适用于欧几里得平面，也适用于非欧几里得平面[2]。应用于椭圆平面(非欧几里得平面)的镶嵌称为椭圆(或球面)镶嵌，应用于双曲平面的镶嵌称为双曲镶嵌。虽然不能表示双曲平面，但庞加莱定义了圆盘模型，将其投影到欧几里得平面。圆盘模型将一条线表示为一个圆弧，两端垂直于圆盘的边界。

通过一个简单的数学计算，就可以判断一个镶嵌是否是欧几里得的。对1/p和1/q值求和，并检验其与1/ 2的关系。根据这个数学公式[3]:

如果1/p+1/q=1/2， {p,q}是欧几里德镶嵌，

如果1/p+1/q<1/2， {p,q}是双曲镶嵌

如果1/p+1/q>1/2， {p,q}是椭圆镶嵌

根据这个数学公式，让我们来看看正方形的不同组合。因为{4,3}的值大于1/2，所以它是一个椭圆镶嵌。{4,4}是欧几里得镶嵌因为它等于1/2，根据相同的公式，{4,5}是双曲镶嵌因为公式的结果小于1/2。当对这些镶嵌的视觉等效物进行检查时，可以看到公式的有效性(图3)。

图3：{4,q}镶嵌：{4,3}-椭圆镶嵌，{4,4}-欧几里得镶嵌，{4,5}-双曲镶嵌

图案生成

如前所述，四边形和三角形技术产生由圆形边界内的三角形和正方形形成的图案。三角形的几何形状不仅仅用于哥特式拱顶。此形状用作创建六边形的基本几何形状。本研究仅限于使用{4，q}、{6，q}和{8，q } Schläfli符号(图4)的双曲镶嵌的规则镶嵌，以产生双曲镶嵌中四边形和三角形技术产生的对应图案。

图4：符号为{4,q}， {6,q}和{8,q} Schläfli的正则双曲镶嵌

让我们研究一下可以用双曲线镶嵌创建的四边形和三角形技术示例。圣巴巴拉教堂拱顶图是用六边形绘制的。{6，3 }Schläfli符号可以将其表示为欧几里得镶嵌。当三个六边形通过它们的边连接在一起时，就得到这种图案。在这方面，它具有与带有{6，4}、{6，5}和{6，6 } Schläfli符号的常规双曲线镶嵌相同的几何组合。如果在圣巴巴拉教堂应用的三角形技术被解释为双曲线镶嵌，则获得图5中的镶嵌。在应用镶嵌时，根据图4中的分区在几何形状上绘制图案。

图5：圣巴巴拉教堂拱顶图案的双曲线镶嵌图案

肋形拱顶是哥特式建筑中最常用的拱顶之一。肋拱顶的几何形状是基于正方形的，可以用正方形来制作。这是欧几里得镶嵌的一个例子，用Schläfli符号{4，4}表示。这四个正方形由它们的边连接起来。在这方面，正则双曲镶嵌与{4，5}、{4，6}、{4，7}和{4，8 }Schläfli符号的镶嵌具有相同的几何组合。用四边形生成的肋拱的双曲线镶嵌应用如图6所示。

图6：肋拱顶图案的双曲线镶嵌

结论

四边形和三角形技术作为图案生产技术具有生产潜力，并且提供了比例顺序。基于欧几里得几何和非欧几里得系统的这些技术的解释使得它们的生产潜力可以从另一个角度来考虑。在这项研究中讨论的这些技术是重新考虑双曲镶嵌，一个非欧几里得系统。在这种情况下，当样本在双曲平面上重新解释时，镶嵌的多样性是惊人的。我们的目标是通过为进一步研究而产生的图案来处理在第三维度中产生的形式。

参考文献

[1] R. Bork, The Geometry of Creation: Architectural Drawing and the Dynamics of Gothic Design Burlington, Ashgate Publishing, 2011.

[2] D. Brant. Hyperbolic Tessellations. https://dmitrybrant.com/2007/01/24/hyperbolic-tessellations

[3] D. E. Joyce, Hyperbolic Tessellations. https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/poincare/tilings.html.

[4] NS. Ramzy, The Dual Language of Geometry in Gothic Architecture: The Symbolic Message of Euclidian Geometry Versus the Visual Dialogue of Fractal Geometry. Peregrinations: Journal of Medieval Art and Architecture. 2015;5(2):135-72.

[5] Gizem Efendioğlu and Sema Alaçam，Revisiting Ad Quadratum and Ad Triangulum to Generate Hyperbolic Tessellations

青山不改，绿水长流，在下告退。

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