与爱因斯坦、冯·诺伊曼较劲

1982年，约翰·贝尔与他著名的贝尔不等式。图源：CERN

导读：

在量子力学的发展中，英国北爱尔兰物理学家约翰·贝尔做出了极为重要的贡献。他在1964年对爱因斯坦等人提出的EPR佯谬，精心设计了一个由可观测物理量构成的不等式，即“贝尔定理”，引出一系列物理实验，证明量子纠缠的确为真，改变了我们对量子现象的认识。

后来将贝尔不等式进行拓展和完善的美国物理学家四人小组（CHSH）之一的物理学家阿伯纳·西摩尼（Abner Shimony）认为，贝尔能够重拾 EPR 佯谬，证明出能使非定域性跟量子论融为一体的定理，有其必然性。

"贝尔是个非常特别的人，他严谨好学，意志顽强，而且敢作敢当。他的性格比别人更坚强。他敢跟本世纪最著名的数学家约翰·冯·诺依曼较劲，还毫不犹豫地指出冯·诺依曼的预设是错的。然后又跟爱因斯坦较上了劲。”西蒙尼说。

阿米尔·艾克塞尔 ｜ 撰文

庄星来｜ 翻译

约翰·贝尔的定理

“那么，在我看来，量子论的真正问题就在这里：清晰的表达式和基本的相对性之间显然有着与生俱来的矛盾。要调和量子论和相对论，单靠技术进步也许还不够，可能还需要概念上的彻底更新。”

——约翰·贝尔

约翰·斯图尔特·贝尔(John Stewart Bell, 1928-1990)1928 年出生于北爱尔兰贝尔法斯特的一个工人阶级家庭，家里人都以打铁和种地为生。他长着一头红发，皮肤上斑点很多，为人温和有礼，喜欢自省。他父亲约翰和母亲安妮，都出身于长期定居北爱尔兰的家族。贝尔的中间名字“斯图尔特”是他母亲的苏格兰娘家姓氏，在上大学以前，家人一直管他叫“斯图尔特”。贝尔一家人都是圣公会信徒(信仰爱尔兰国教)，但是贝尔在与人交往中往往不顾宗教和种族的限制，他的许多朋友是信仰天主教的。贝尔的父母都不是有钱人，但他们非常重视教育，辛辛苦苦省下钱来供他上学，而家中其他的孩子很早就辍学务工了。贝尔的两个弟弟后来都自学成才，一个当了教授，另一个做了成功的生意人。

贝尔 11 岁时便博览群书，决心成为科学家。他的中学入学考试成绩优异，可惜家里经济拮据，无法供他入读重理科的学校。于是贝尔只好上了贝尔法斯特的技工学校，一边学习文化课，一边学习实用技能。1944 年，16 岁的贝尔中学毕业，随即应聘到贝尔法斯特的女王大学(Queen’s University)担任物理系的技术助理，在卡尔·艾米留斯(Karl Emeleus)手下做事。艾米留斯非常欣赏贝尔的科学禀赋，不但借书给他看，还允许他在被正式录取前就旁听一年级的课程。

贝尔当了一年技术员，便被大学录取为正式学生，还得到了一笔小小的奖学金，这下他终于可以攻读物理学位了。1948 年，贝尔大学毕业，取得了实验物理学学位，他在学校又待了一年，取得了数学物理学的第二学位。贝尔有幸师从物理学家保罗·埃瓦尔德(Paul Ewald)，埃瓦尔德很有才华，从德国流亡到北爱尔兰，是X-射线结晶学领域的领军人物。贝尔的物理成绩非常优秀，但他不满意大学里教授的量子论。他那好学深思的头脑已经想到，量子论的某些神秘的方面在课堂上没有得到解释。当时的他并不知道那些未经解释的问题其实无人能懂，更没有想到那些问题的答案日后将由他自己去发现。

贝尔在贝尔法斯特女王大学的一间物理实验室工作了一段时间后，进了伯明翰大学，并于1956年取得了物理学博士学位。他的研究方向是核物理和量子场论，拿到学位后在英国原子能管理局工作了好几年。

贝尔在英国的马尔文学院研究加速器物理学期间，认识了玛丽·罗斯(Mary Ross)，她也是加速器物理学专家。两人于1954年结为伉俪，追求共同的事业，常常携手研究同样的课题。他们都取得了博士学位（罗斯在格拉斯哥大学拿到数学物理学博士学位），一起在哈威尔（Harwell）研究中心参与英国的原子能建设。几年后，两人渐渐对原子能研究中心的发展方向失去了兴趣，于是双双辞职，接受了日内瓦的欧洲原子能研究中心(CERN)的非终身职位。贝尔在理论部门，罗斯则加入了加速器研究小组。

认识贝尔的人无不被其才学、诚实和谦逊打动。贝尔发表了很多论文，还写了很多重要的内部备忘录，认识他的人都知道他属于那个时代最有才智的一群人。贝尔有着三个不同领域的研究：一是粒子加速器研究；二是他在欧洲原子能研究中心从事的理论粒子物理学研究；三是量子力学基本概念的研究——这一方面的成就最终使他名声大振，影响远远超出了物理学界。在他参加的各种研讨会上，三个领域的研究者都会在各自相关的会议上聚首，但不同领域的与会者彼此却不认识。显然，贝尔有意把三个研究方向分别开来，所以其中每一个学科领域的研究者都不知道他同时也在从事另外两个领域的研究。

约翰·贝尔在欧洲原子能研究中心的办公时间全部用于研究理论粒子物理学和加速器设计，因此他只能利用在家休息时间来从事他的“业余爱好”——探索量子论的基本问题。1963 年，他休了一年假，离开欧洲原子能研究中心先后去了斯坦福大学、威斯康星大学和布兰德斯大学。贝尔就是在这一年旅居国外的访学过程中真正开始探索量子论的核心问题的。1964 年回到欧洲原子能研究中心后，他还在继续研究量子问题，不过很小心地将量子论研究跟自己在欧洲原子能研究中心的“主业”——粒子和加速器研究分别开来，因为他在研究中早就发现量子论中有许多暗礁险滩，很难逾越。在美国休假时，贝尔的研究有了突破，他发现约翰·冯·诺依曼的量子论假设中有一处错误，但是，用贝尔自己的话说，“我抽身离开了。”

没有人怀疑过约翰·冯·诺依曼的才华——他是第一流的数学家，甚至可以说是天才。在数学方面，贝尔跟冯·诺依曼也没有什么争议。问题是出在数学和物理学的交界处。冯·诺依曼在他那本讨论量子论基本原理的奠基之作中有一个重要预设，后面的一系列推论都基于此；约翰·贝尔认为这一预设从物理学角度看是不成立的。冯·诺依曼在他的量子论著作里预设几个可观察的量之和的预期值等于其中每一个可观察的量的预期值之和。[用数学语言表达就是：若 A，B，C，......为可观察量，E()为预期算子，冯·诺依曼认为很自然可以得出下列等式：E(A + B + C + ......)= E(A)+ E(B)+ E(C)+ ...... ]约翰·贝尔知道这个预设貌似合理，但是如果其中的可观察量 A，B，C，......是用不一定符合交换律的算子来表达，那么此预设的物理意义就说不通了。用不太精确的非数学语言来说，冯·诺依曼似乎是忽略了不确定性原理及其推论，因为根据不确定性原理，不遵守交换律的算子是不能同时准确测知的。

约翰·贝尔写成了讨论量子论基本原理的第一篇论文，并于1966 年发表。以发表时间算，这篇论文是排在第二（另有一篇相关的论文写作时间较晚，却先行发表了；稍后将作介绍）。论文的题目是《论量子力学的隐变量问题》(“On the Problem of Hidden Variables in Quantum Mechanics”)，贝尔在文中指出了冯·诺依曼书中的错误，以及姚赫(Jauch)与派伦(Piron)联名发表的论文与安德鲁·格里森的(Andrew Gleason)论文中类似的问题。

格里森是与冯·诺依曼齐名的数学家，哈佛大学教授，因解出希尔伯特的一道著名的难题而成名。1957年格里森写了一篇论文，讨论希尔伯特空间的投影算子。贝尔并不知道，格里森的定理是与量子力学中的隐变量问题有关的。约瑟夫·姚赫曾在日内瓦生活过一段时间，当时贝尔夫妇也在日内瓦。因为姚赫在研究格里森的隐变量论文，贝尔才注意到格里森的定理。格里森定理是一般性的定理，并非旨在解决量子论问题——因为证明此定理的是一个只关注数学而不关心物理学的纯数学家。虽然如此，该定理引出的一个引人注目的推论却具有重要的量子力学意义。这条出自格里森定理的推论可以说明，任何一个可以用三维以上的希尔伯特空间来表示的量子力学系统都不可能呈现无弥散态。贝尔注意到，如果格里森的假设是不充分的，那么一个比较普遍的隐变量理论就有可能存在，这类理论就是今天我们所说的“语境”(“Contextual”)隐变量理论。如果是这样的话，把格里森定理用在 EPR 佯谬中就会出现漏洞。

无弥散状态(dispersion-free states)是指具有精确的测量值的状态，其中没有变化，没有弥散，没有不确定性。如果无弥散状态果真存在，那么其精确性必然来自某些被忽略的隐变量，因为量子论包含了不确定性原理。

贝尔不明白格里森是如何由其定理推出这个结论的，所以他就用自己的方法证明了除了二维的希尔伯特空间外（这种情况无关紧要），并不存在无弥散态，因此隐变量不存在。另外，针对冯·诺依曼的观点，贝尔证明了冯·诺依曼所用的预设是不恰当的，从而其结论也是有问题的。贝尔又一次提出了量子论是否存在隐变量的问题，接着他更进一步，瞄准了 EPR 问题和量子纠缠。

贝尔读过爱因斯坦、波多斯基、罗森三人于1935年联名发表的论文，该文对量子论提出了挑战，事情已经过去 30 年了。玻尔等人对 EPR 已做出回应，物理学界几乎人人都相信问题已经解决，爱因斯坦的观点是错的。但是贝尔不这么看。

约翰·贝尔发现了当年 EPR 争论中的一个重要事实：他“知道”爱因斯坦等人其实是对的。众人皆谓“EPR 佯谬”，但其实它根本不是什么佯谬。爱因斯坦等人实际上是发现了一些关系到我们对宇宙的理解的重要问题，但问题不在于量子论不完备，而在于量子力学跟爱因斯坦所坚信的实在论和定域论无法并存。如果量子论是正确的，定域论就不正确；如果我们坚持定域论，那么量子论对微观世界的描述就会出问题。贝尔将这一结论表述为一个深奥的数学定理，由不等式构成。他指出，如果实验结果违背了他的不等式，那么就可以证明量子力学是正确的，而爱因斯坦对定域实在性的常识性的预设是不正确的。如果实验结果符合他的不等式，那么就可以证明量子论是错误的，而爱因斯坦所持的定域性观点是正确的。更准确地说，实验结果可能既违背贝尔不等式，又违背量子力学，但是绝不可能既符合贝尔不等式，又符合量子力学对某些量子态的描述。

约翰·贝尔写了两篇具有开创性的论文。第一篇论文分析了冯·诺依曼等人的观点，他们都讨论了隐变量是否存在的问题，即是否存在爱因斯坦等人所说的那种能使量子论变“完备”的隐变量。约翰·贝尔在论文中首先证明了由冯·诺依曼等人提出的、用于论证隐变量不存在的定理都是不严密的。接着贝尔证明了自己的定理，真正说明了隐变量是不存在的。由于发表时间的延误，贝尔的这篇重要论文 1966 年方才面世，出现在他撰写的第二篇论文之后。他的第二篇论文发表于 1964 年，题目叫《论爱因斯坦-波多斯基-罗森佯谬》，此文提出了影响深远的“贝尔定理”，它改变了我们对量子现象的认识。

贝尔采用了EPR佯谬的一种特殊形式，也就是经戴维·波姆(David Bohm)简化改良过的EPR实验。他考察了从一个粒子发出的处于单态的两个相互纠缠的 1/2 自旋粒子，分析这个实验会产生什么结果。

贝尔在文中说，EPR 佯谬已经发展成为论证量子论不完备、必须补充其他变量的依据。EPR 认为，有了那些额外的变量，量子力学便可找回那失去的因果概念和定域性概念。贝尔在一条注解中引用了爱因斯坦的话：

但我认为，我们应当牢牢抓住一个预设：如果系统 S1 和系统 S2 相隔甚远，系统 S2 的真实状况是不会因系统 S1 受到扰动而改变的。

贝尔表示，他要以数学的方法来说明爱因斯坦的因果观和定域观与量子力学的表述是不能共存的。他进而又说，正是定域性要求——即一个系统的状态不应受到与之相距甚远、曾经发生相互作用的系统状态的影响——造成了根本的困难。贝尔的论文提出了一个选择定理(theorem of alternatives)：或者定域隐变量是正确的，或者量子力学是正确的，但两者不可能都正确。如果量子力学是描述微观世界的正确理论，那么非定域性(non-locality)就是微观世界的一个重要特征。

贝尔首先假设量子力学是可以由某种隐变量结构来补足的，就像爱因斯坦所要求的那样。那么，这些隐变量必定带有量子力学所缺少的信息。实验中的两个粒子带有一个指令集(instruction set)， 会提前告诉粒子在不同情况下应当怎样行动，也就是说，让粒子知道每次选定的测量轴是什么方向。在这种假设下，贝尔推出了一个矛盾的结果，可以说明量子力学是不可能用隐变量来补充的。贝尔定理可以用一个不等式来表达，不等式中的 S 表示两名实验员爱丽丝和鲍勃的测量结果的总和。

贝尔不等式为：-2 < S < 2

该不等式可以表示为下图。

根据贝尔定理，如果实验结果不符合上述不等式(即在真实的纠缠粒子实验中爱丽丝和鲍勃的测量结果的总和大于2或小于-2)，那么这个实验就可以证明非定域性的存在，也就是说其中一个粒子的状况确实可以同时影响另一个粒子的状况，无论两个粒子之间的距离有多么遥远。现在就等实验家们去寻找这样的实验结果了。

不过，这里还有一个问题。贝尔由定域性预设推导他的不等式，是利用了一个特殊的假设。他假设隐变量理论完全符合量子力学对成对单态粒子的预测：无论自旋轴取什么方向，对于同一条自旋轴，粒子 1 的自旋总是与粒子 2 相反。因此，如果实验值与贝尔不等式数值的量子力学预测相符，这个发现仍无法说明定域性预设是错误的，除非能够先找到证据证明贝尔所用的特殊假设是正确的；这样的证据在实践中很难找到。这个问题最终导致了实验测试上的障碍。以后，克劳瑟 (Clauser)、 霍恩 (Horne)、西摩尼(Shimony)将会对贝尔定理进行拓展和完善，从而解决这一技术问题，使贝尔不等式能用于真实的物理实验。

不管怎么说，贝尔定理的结论就是：隐变量假设和定域性假设在量子论中都不能成立，量子论与这两种假设是不能共存的。因此，贝尔定理是物理学上非常有力的理论成果。

有一回西摩尼问我：“你可知道为什么贝尔能够重拾 EPR 佯谬，又证明出能使非定域性跟量子论融为一体的定理？”接着他说，“认识约翰·贝尔的人都知道，只有他可以，换了谁也不能够。贝尔是个非常特别的人，他严谨好学，意志顽强，而且敢作敢当。他的性格比别人更坚强。他敢跟本世纪最著名的数学家约翰·冯·诺依曼较劲，还毫不犹豫地指出冯·诺依曼的预设是错的。然后又跟爱因斯坦较上了劲。”

爱因斯坦等人认为，空间距离遥远的系统之间的纠缠态是令人难以相信的。一个地方发生的情况怎么可能同时影响到远在天边的另一个地方的状况？约翰·贝尔却能够超越爱因斯坦的直觉，建立一个伟大的定理，从而引出一系列物理实验，使量子纠缠终于被确立为真实的现象。贝尔原本是支持爱因斯坦的定域性观点的，但他要借实验来证明这个观点究竟是对是错。

约翰·贝尔1990年因脑出血突然去世，享年 62 岁。他的死是物理学界的一个重大损失。贝尔在他最后的日子里仍然积极从事研究工作，不断地撰写论文，开课讲学，探讨量子力学、EPR 假想实验以及他自己的定理。三十多年来，贝尔定理一直受到物理学界的关注；事实上，今天的物理学家们仍在不断思考贝尔定理对时空本质以及量子基本原理的深刻启示。关于贝尔定理的种种实验几乎无一例外地提供了无可辩驳的证据，表明量子论是正确的，量子纠缠和非定域性都是真实存在的。

本文摘自《纠缠态：物理世界第一谜》（【美】阿米尔·艾克塞尔 著，庄星来 译，上海科学技术文献出版社2016年7月出版）。

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来源：赛先生

编辑：Tammy

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