微分方程：物理学中最重要的数学工具，以数学的形式揭示物理现实

微分方程是数学和物理科学中一个至关重要的领域，它提供了一种量化并预测系统如何随时间演变的方法。无论是在描述经济市场的波动，预测人口的增长，解析电磁场的变化，还是在分析物理系统的振动，微分方程都发挥着重要的作用。它们的重要性在于，它们能以数学形式表达出许多现实世界的动态现象，从而使我们能够对未来进行预测和控制。

我们来看一个简单的例子：胡克定律，

这个定律描述了附着在弹簧上的物体（质量块）所受的力F。当你将物体沿y方向移离平衡位置时，物体就会受到这种力。

D是一个常数，描述了拉伸或压缩弹簧的难度。

弹簧连接的质量m被隐藏在力F中。我们可以根据牛顿第二定律将力写为

"a"是物体在被移离其静止位置的距离y时所经历的加速度。一旦你拉动物体并释放，弹簧就会开始来回摆动。在没有摩擦的情况下，它将永远不会停止摆动。当物体振荡时，位移y会变化。因此，位移取决于时间t，所以加速度a也取决于时间t。

无论弹簧被位移多少，质量在任何时候都保持不变，弹簧常数D也是如此。

如果我们现在将m移至另一边，我们可以用这个等式计算物体在每次位移y时所经历的加速度。

但是，如果我们对以下问题更感兴趣：24秒后，y是多少，即物体在哪里？

为了能够回答这样的问题，我们必须知道y如何精确地依赖于时间t。我们只知道y依赖于时间，但不知道它如何依赖。

而正是在处理这样的问题时，微分方程就起到了作用。

我们可以轻易地证明，加速度a是y对时间t的二次导数。

现在我们为位移y建立了一个微分方程！

你可以通过以下方式识别微分方程（简称：DEQ），除了需要找的函数y，它还包含了这个函数的导数。就像在这个案例中，它是y关于时间t的二次导数。微分方程是一个包含需要找的函数y和它的导数的等式。

你一定会遇到许多微分方程的表示法。导数有哪些表示法呢？我们把微分方程写在所谓的莱布尼茨符号（Leibniz notation）中，

你会经常在物理中遇到这种表示法。我们也可以把它写得更紧凑一些，不用提到时间依赖性，

如果函数y只依赖于时间t，我们可以用所谓的牛顿符号更紧凑地表示时间导数，

y的一次时间导数对应于y上的一个点。所以，如果有二次时间导数，那么就会有两个点。很明显，如果有十次导数，这种表示法是不合适的。另一种你可能会在数学中遇到的表示法是拉格朗日表示法（lagrange notation），

在这里，我们用撇号表示导数。所以对于二次导数，有两个撇号。在拉格朗日表示法中，从上下文应该明确，函数相对于哪个变量进行微分。如果不清楚，那么你应该明确写出y依赖于哪些变量，

每种表示法都有其优点和缺点。然而，要记住的是，这些只是写下相同物理的不同方法。即使重新排列和重命名也不会改变这个微分方程下的物理本质。

我应该如何解微分方程？

为了回答我们之前的问题，"24秒后，y是多少？"，我们必须求解所提出的微分方程。

解微分方程意味着必须找出函数y如何精确地依赖于变量t。对于像简谐震荡这样的简单微分方程，很容易就可以找到函数y。但是，请记住，没有一种通用的方法可以解决任意微分方程。对于一些微分方程，甚至没有解析解！这里的"非解析"一词意味着你不能为函数y写下一个具体的等式。

在这种情况下，唯一的可能性是在计算机上数值地解微分方程。然后计算机不会吐出一个具体的公式，而是数据点，可以在图表中表示出来，然后分析微分方程的性质。

如何识别微分方程？

一旦你遇到一个微分方程，首先需要弄清楚的是你要寻找的函数是什么，以及它依赖于哪些变量。在我们的例子中，我们寻找的函数被称为y，它依赖于变量t。

作为另一个例子，看看描述电磁波以光速c传播的电场的波动方程，

在这个微分方程中，需要寻找的函数是什么？它是函数E，因为它的导数在这里出现。函数E依赖于哪些变量？这里没有明确给出依赖关系，但从导数中可以立即看出E必须依赖于x,y, z和t。也就是说，总共有四个变量。

我们再来看一个稍微复杂一些的例子。这个微分方程系统描述了一个质量在三维重力场中的运动，

在这里，你遇到的是一个所谓的耦合微分方程系统（coupled differential equation system）。在这种情况下，单一的微分方程不足以描述质量在重力场中的运动。

事实上，这里寻找的是三个函数，即轨迹x、y和z，它们确定了质量在三维空间中的位置。

每个函数描述了在三个空间方向中的一个方向的运动。所有三个轨迹仅依赖于时间t。

什么是耦合的微分方程？

“耦合”的意思是，例如，在函数x的第一个微分方程中，也存在函数y。所以我们不能简单地独立解第一个微分方程，因为第二个方程告诉我们在第一个方程中y的行为是如何的。在所有三个微分方程中，所有要找的函数x，y和z都出现了，这意味着我们必须同时解决所有三个微分方程。