折纸中的圆锥曲线

在中我们讨论了折纸的数学原理，今天让我们一起来看一看折纸与圆锥曲线有什么神秘的关联.

1 一起动手实验！

首先，请你准备一张圆形纸片，然后按如下步骤折纸：

• 设圆心是 ，在圆内异于圆心处取一点，记为 .

• 取圆周上任意一点 ，把纸片对折，使点 与 重合.

• 把纸片展开，记折痕为 ，用水笔划出 .

• 调整点 的位置，重复上述两个步骤，得到更多 .

在经过比较多次折纸后，同学们可以思考下面这个问题.

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我们借助GeoGebra软件可以更为清晰地看到折痕围成区域的边缘，这更强化了我们的猜想——折痕围成区域的边缘是椭圆！

当我们标出其中一条折痕 后，我们又可以直观地看到， 上有且只有一点在椭圆上，也即 是椭圆的切线.我们称所有这些 为椭圆的包络线.

我们能不能对其进行证明呢？联想到椭圆的定义：

“ 平面上到两个定点 的距离之和等于常数 （其中 ）的点的轨迹.

在圆中，什么是“常数”呢？

想必你已经找到了问题的线索——圆的半径！只要在上图中连接 交 于点 即可.

接下来的证明是容易的：由 是线段 的中垂线，可得

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所以 的轨迹是以 为焦点，长轴长为 的椭圆.

那么，如何证明 是椭圆的切线呢？其实这个问题也是比较容易的，因为这等价于证明 上异于 的任意一点 在椭圆外就可以了.

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即 一定位于椭圆外，得证！

进一步地，有如下角的关系：

由此我们得到了椭圆的光学性质：由椭圆一个焦点发射出的光线经椭圆内壁反射后必经过另一个焦点.

2 一次新的猜想

在刚刚这个折纸问题中，我们一开始取的点 在圆内，如果将它的位置改为圆外会发生什么呢？你可以先猜想一下！

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让我们再次借助GeoGebra来看一看.

对此的证明也是容易的.根据上一个例子的经验，自然可以想到这与双曲线的定义有关.

当 时，

当 时，

即 的轨迹是以 为焦点，实轴长为 的双曲线.

与椭圆类似，我们亦可得到双曲线的光学性质：由双曲线一个焦点发射出的光线经双曲线内壁反射后，反射光线的反向延长线必经过另一个焦点.

3 折纸中的抛物线

讨论完椭圆和双曲线，同学们可能会想到：该如何通过折纸“折出”抛物线呢？实际上，这也并不困难.

如图，只要对折纸张让点 与 重合，这样我们得到了折痕与平行线的一系列交点 ，其中恒有

即 的轨迹是以 为交点， 为准线的抛物线.

最后，让我们来看一下抛物线的光学性质：由抛物线的焦点发射出的光线，经抛物线内壁反射后，必平行于抛物线的对称轴.

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来源：大小吴的数学课堂

编辑：利有攸往

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