晶体位错亦可量子纠缠？

按照物理人的认知，我们的现实世界大约可分为经典世界和量子世界。这种哲学味道的声称，并没有什么神秘和了不得的，无非是说宏观世界用经典物理和相对论来认识就已足够。到了微观原子世界，物理人就得改弦更张，用量子力学去描述才能合乎道理。宏观世界，组成物体的原子数目再多、再怎么复杂，物体之间的相互作用，大约都可用组成物体的微观粒子集合的引力和电磁力去看。对此，当下的经典理论已表达得很不错。而微观量子世界，是不是用“波粒二象性”就可以描述得很好？还是可以斟酌商榷的。毕竟，还有一些在目前认知上“模糊不清”的问题。这种宏观、微观物理的划分模式，更多说明人类的认知水平还可以再提升，以求一统宏观、微观世界的认知。当然，这种划分，本身就模糊不清，也意味着宏观 - 微观认识其实就是互相渗透的：你中有我，我中有你。

Ising 这般狂言妄语，也不是一点微薄根据都没有。对微观量子世界的一种理解，立足于微观量子态原本就是纠缠在一起的图像。一旦付诸外部测量，量子态会因为测量干扰而崩塌，从而体现出粒子性。此时，用宏观经典的物理去理解这些测量后的结果，大概也不算全是胡说八道。同样，我们也知道，量子效应在宏观尺度上亦可得到一些展现，并被赋予不可言状般的神奇。图 1 所示，乃两个“粒子”之间量子纠缠之形象示意。

图 1. 两个量子 bodies 之间通过纠缠而组成一个量子整体，很多情况下于宏观尺度依然可以展示出量子效应。

https://www.resonancescience.org/blog/Quantum-Physics-Working-at-the-Macroscopic-Scale

这里，重复两个众所周知的例子，说明宏观层面上依然可以有量子效应：

(1) 两束源于同一光源的相干光束，在宏观尺度空间中沿两条不同路径传播后再交会干涉，可能出现光子纠缠，显示出宏观量子效应。注意到，激光光束高度相干这一特征，使得这样的效应令人诧异和不可思议之外，也可有个道理，如图 2(A) 所示。这种光量子纠缠，现在更是量子信息世界的重要载体。已经报道的数百上千公里之间的量子密钥、编码和通讯，证实量子纠缠不再是想象。

(2) 超导电性源于波矢空间一对一对自旋反平行的电子库珀对。大量库珀对相干而凝聚在基态，形成超流输运而实现超导。超导电性是凝聚态最广为认同的宏观量子纠缠，百年来都是凝聚态物理的上品，令人心动并为之憔悴。图 2(B) 所示，为其中一些宏观量子效应的呈现。如果再将话说得粗鲁一些，即：波矢空间的库珀对，在实空间表现的就是量子相干纠缠！

这样的宏观量子效应，惟妙惟肖而下里巴人，能够赋予若干贴近日常文明生活的新功能，供我们人类获益。此时，不妨回去感受德布罗意的“物质波”这一概念之深刻，就能发现原来“宏观量子世界”并非不可能，并非一个稀奇的主观希冀。或者说，这些宏观的量子效应，依稀让我们体会到对宏观世界，其实“波动理解”比“粒子理解”更“普适”和“合适”。再说句外行话：高等数学很早就告诉我们，一切形貌都可以是波包的傅里叶叠加，而量子态不就是叠加态么？！

图 2. 日常见到的、最典型之两大宏观量子现象： (A) 压缩的光束中光子对之间的纠缠。这里绿色线条连接一对一对的光子，来表达纠缠。 (B) 超导电性中的宏观量子效应： (a) 中展示超导环中的电子库珀对相干凝聚，导致穿越其中的磁通量子化。类似的唯象对应在光纤干涉中也有呈现。 (b) 是超导 Josephson 结中的量子干涉。

(A) Entanglement among individual photon pairs in a beam of squeezed light, https://phys.org/news/2015-03-glimpse-macroscopic-quantum-state.html

(B) Novel Todoidal and Superconducting Metamaterials, PhD Thesis of Dr. V. Savinov at 2014 with University of Southampton

话是如此说，但毕竟宏观体系包含了太多微观粒子，它们协同起来呈现宏观量子效应的可能性总是很低的。百年来，能够漂亮展示的现象屈指可数、也就那几样。这样的现状，可能展现两个后果：一方面，公众对宏观量子现象的感受和理解较为薄弱，疑虑多于笃信。即便是从事自然科学研究的人们，大部分对此的体会也不过是花碎零落一般，无法形成整体的观念和认知。另一方面，探索这样的量子效应，是“物以稀为贵”的珍品，因此总能得到“追新求异”的物理人们关注，并触发他们试图去展现更多的宏观量子相干效应。在后者的崎岖之路上，物理人经历了长期的摸索和兜圈圈，似乎给我们普通百姓留下一些粗略的印象：

(a) 空间尺度。这是最直接的考量，因为宏观与微观尺度上的物理规律是各取一端，要么与经典物理联系，要么被量子图像描绘。如此，展示宏观体系量子效应的合适结构，其尺度总归是介于宏观和微观之间。此中乾坤，值得物理人去探索，看看是否会有比宏观体系更多、更显著的量子效应展示。事实上，这样的体系，一方面包含了足够数量的原子，是宏观经典物理和热力学向下拓展的对象。正因为如此，才有诸如“介观热力学”之类的经典物理 topics 诞生。另一方面，微观世界中的各种量子效应，也可能拓展到这样的介观体系，虽然其中未必会有很好的纠缠相干。图 3(A) 所示，就是 2021 年 Science 上报道的一项实验观测：一对相距一定距离的、微米尺度的铝金属片，在电磁辐射激励下，其力学共振 ( 位置 / 动量坐标 ) 信号之间会表现出相干纠缠效应。这一实验展示，亦是惟妙惟肖，值得读者去观赏一番。

(b) 强量子效应固体。这是最直接的驱动，因为从 4He 超流到 BCS 超导，都是宏观量子效应的典型范例。这也从一个侧面说明，它们本身就是强量子效应固体 ( 即其中量子涨落和关联很强 ) 。半个多世纪前，凝聚态物理就建立了超流和超导的完备理论，体现了不同固体所展现的量子效应强弱存在差别。这些体系都包含了大量原子，但这些原子的集合竟然能够形成宏观的量子相干现象，说明其中触发量子纠缠的物理根源很 powerful 。或者说，这些体系因为存在很强量子涨落，更容易出现宏观量子纠缠效应。很显然，要去展现这样的介观、宏观量子效应，就应该挑选如此 powerful 的体系。这也是为什么如 4He ( 超流体 ) 、如 Al / Nb 等 ( 常规超导体 ) 这样的固体，会经常成为固态宏观量子效应研究对象的原因。

(c) 维度效应。对何种维度具有很强的宏观量子效应， Ising 孤陋寡闻，以为物理人并未给出很清晰的指征。但是，如果去看他们用来展示宏观量子效应的对象，似乎也是有些讲究的。一方面，研究对象既要有足够的空间尺度，才能包含足够数量的微观粒子，才能称之为宏观。另一方面，如果这一对象在三个维度上都很宏观、构成一个十足的三维物体，则其中的宏观量子效应即便有也会被三维关联抑制掉。三维体系大约不会是展示宏观量子涨落或纠缠相干的上品。反过来，如果研究对象是二维超薄物体、或者一维链状物体，则更合适：毕竟一个维度足够宏观，而另外的维度足够微观，给显著的量子效应以出现的机会。除了前述提及的、呈现共振的微米尺度铝金属片 ( 图 3(A)) ，诸如高温铜基超导体中的 CuO 面，诸如关联体系 STO / LAO 界面二维电子气，诸如拓扑绝缘体的特定表面态或边缘态，可能都算是维度考量的对象：它们既是宏观的 ( 在一个 / 两个维度上 ) ，也是微观的 ( 在另外的一个 / 两个维度上 ) ，从而也是宏观量子的 ^_^ ！

图 3. 固体中量子纠缠的两个例子。 (A) 一对由铝片加工而成的振子，在电磁波驱动下振动形成量子纠缠。 (B) 晶体中刃位错 edge dislocations 量子化为“位错子 dislons ”，也是宏观量子化的体现。

(A) S. Kotler et el, Direct observation of deterministic macroscopic entanglement, Science 372, 622 (2021), https://www.science.org/doi/10.1126/science.abf2998

(B) From dislocation to dislon, https://millie.pubpub.org/pub/k0j0wod1#from-dislocation-to-dislon

事实上，过去数十年物理人研究的主要对象，大多如此。其中一类常被关注的对象，即是固体中的位错 dislocation ：它属于典型的一维线缺陷，常被量子物理人戏称为“位错子 dislons ”或者“量子弦 string ”。一根位错，其长度达微米及至更长，实乃平常之事，如图 3 (B) 所示。而位错线在另外两个维度上则是微观的。此时，如果表征位错线的位置 / 动量坐标，则这一坐标可能是位错线上所有量子效应很强的原子之系综集合：宏观与微观，在此有机地联系起来。这些年对不同固体中位错线的滑移运动、应力 - 应变响应、与周围杂质原子间的作用等过程所展示的量子效应，物理人都饶有趣味，费尽心思去探测、建模和计算。相关结果每每都登上高端大刊，形成了一个规模不大、却充满挑战、犹疑之声此起彼伏的分支领域。

不过，有点意思、也有些令人不解的是，物理人对位错线本身作为一个宏观量子载体的基本性质：位置 / 动量坐标的量子纠缠，还缺少必要的认知。粗暴地说，位错线上的每个原子作为一个量子载体，其位置 / 动量坐标都是量子的。但是，这些原子构成的组合体，其位置 / 动量坐标是否一定是这些原子的量子态相干叠加，依然未被很好解答。亦或者，位错线上两个原子的位置 / 动量坐标是否同步？是否有宏观量子效应体现？这些问题目前尚未有很清晰的答案。之所以如此，原因之一，可能是未能构建出很好的表征方法，去标定一根位错线中一个个原子的位置 / 动量坐标。这种标定，物理上本来就是难题。

对此难题，最近似乎在理论上有一些进展，即借助所谓全原子的路径积分蒙特卡洛模拟方法 (fully atomistic path - integral Monte Carlo (PIMC) simulation) ，来复现原子链的原子位置 / 动量坐标，然后将模拟结果 map 成包含这些位置 / 动量坐标的有效哈密顿模型。 Ising 从事蒙特卡洛许多年，但对 PIMC 一无所知，无法将其解释得更清楚。求解这一哈密顿，比 PIMC 模拟本身要容易和直观，虽然也很困难。如此，物理人就朝解决问题的方向迈进了一步。这一动向，看起来引起了同行关注，并被运用到不同宏观量子体系的动力学行为研究中。

巴西名城圣保罗，有一所全称为“坎皮纳斯州立大学 (Universidade Estadual de Campinas) ”的高校。来自其中的 Maurice de Koning 教授，与米国斯坦福大学机械工程系的 Wei Cai ( 蔡伟 ?) 教授密切合作，似乎一直致力于固体位错作为宏观量子载体的理论计算研究 (de Koning 似乎有很多时间待在斯坦福 ) 。他们关注的一个体系，是六角密堆的 4He 固体 (hexagonal close-packed 4He ，缩写成 hcp-4He) ，可以承载很强量子涨落，堪称为量子晶体 (quantum crystal) 。而他们关注的具体问题，正是这一固体中位错线自身的宏观量子效应。

众所周知，密排六方堆积的 hcp-4He 固体，在基面 basal – plane 中存在刃位错 (edge dislocation) 。这类位错，是 hcp 固体实现滑移形变的唯一机制。因此，认识其位错运动机理，对探索此类量子体系的未来应用有一定价值。不过，这类刃位错一般会通过分解为一对不全位错 (partial dislocation - pair) 来降低能量。连接这一对不全位错的，是其间的基面层错 (stacking fault, SF) 。不全位错对 + 层错，是晶体位错缺陷的一种常见组态，与晶体缺陷经典物理图像并无二至，相关教科书均有经典阐述。

要描述这一位错的运动，就需要对这一对不全位错 + 连接层错组成的整体进行描述。从空间几何上，这一缺陷的形态更像是一种穿过晶体的片状缺陷，如图 4(A) 所示。如果能够证实这一片状位错的运动呈现宏观量子特征，自然是位错量子效应研究的一个重要进展。蔡老师他们，正是基于全原子路径积分蒙特卡洛模拟方法，辅以有效哈密顿模型描述，以漂亮的结果展现出两个不全位错的位置 / 动量坐标是完全同步的，且这种同步对存在少量 3He 杂质不敏感。很显然，这样的同步，是宏观量子相干纠缠的直接体现，令人印象深刻。图 4(B) 中的两条时间序列曲线，即是这对不全位错的坐标位置变化：它们竟然是如此相像，其同步纠缠之态令人印象深刻。

图 4. (A) 一对不全位错 + 联系层错之结构示意图，其中 y 轴指向固体的 c 轴方向，绿色原子表述层错结构，两个不全位错芯位于两端。 (B) de Koning 和 Wei Cai 教授他们的定量计算结果：上图两条随时间变化的红蓝曲线，展示这对不全位错的位置坐标。它们几乎是完全同步的。下图是不全位错对的质心偏差统计结果，高斯对称性得到很好保持，也是不全位错芯高度同步的表现。

蔡老师他们的工作，展示了丰富的理论结果。这里罗列部分读后感如下：

(1) 通过 PIMC 模拟和有效哈密顿模型计算，他们展示了两个不全位错的位置 / 动量坐标的关联纠缠，从而证实可以将整个位错作为 collective particles ( 组合准粒子 ) 来处理，为建立固体量子塑性 (quantum plasticity) 的介观理论打下基础。

(2) 对单个位错，实现了以波函数和能量本征值来表达其动力学的量子力学完备描述。

(3) 位错作为准粒子的有效质量，远小于经典弹性力学给出的有效质量，与 4He 固体超塑性实验结果吻合 ( 有效质量小，意味着其运动惯性很小，可以运动很快，因此晶体塑性形变可以很显著 ) 。

(4) 位错有效质量很小，也很好解释了刃位错易于分解为两个不全位错的实验事实。整个工作也为奠定位错运动力学的量子基础做出了一些贡献。

作为这一领域的外行读者， Ising 感觉到，这几条结论具有明确的量子特征意义，让我们对量子固体的力学行为有了一些新的认知。结果之漂亮虽出乎意外，但作为外行， Ising 觉得，固体中位错缺陷之间的纠缠，与真空中一对光子之间的纠缠，可能并非一回事。前者的一对不全位错之间，毕竟存在固体晶格作为联系媒介，个中纠缠真的是量子纠缠吗？难道不是不全位错对间的晶面作用将其联系在一起？当然，量子世界中的“真空”也未必就是完全的“虚空”，但至少真空中存在量子关联的说辞更容易让我们接受。这样的疑问，在真正理解固体中宏观量子态更本征的物理之前，总是存在的。因此， Ising 感觉蔡老师他们的这一工作，总有种意犹未尽之感。

当然，更多、更深刻的物理，似乎超出了 Ising 的理解能力。不如就此放下，结束本文。

雷打不动的结尾： Ising 乃属外行，描述不到之处，敬请谅解。各位有兴趣，还是请前往御览原文。原文链接信息如下：

Dislocation-position fluctuations in solid 4He as collective variables in a quantum crystal

Maurice de Koning & Wei Cai

npj Quantum Materials 7, Article number: 119 (2022)

https://www.nature.com/articles/s41535-022-00533-8

七律·台风夏日登山

久居斗室数闲愁，窗外黑云蔽日头

邀会钟山驱雨幕，登临陀岭寄风舟

倾听青木击鸿水，遥看台城起蜃楼

最羡狂飙无问远，羁途恣意誓不休

备注：

(1) 编者 Ising ，任职南京大学物理学院，兼职《 npj Quantum Materials 》编辑。

(2) 小文标题“晶体位错亦可量子纠缠？”乃感性言辞，不是物理上严谨的说法。这里表示 hcp-4He 固体中一对不全位错之间，亦可存在位置 / 动量坐标的同步或纠缠。标题加上“问号 ? ”，乃因为 Ising 尚无力判断这种同步是否一定为一种量子纠缠！

(3) 文底图片拍摄于金陵紫金山顶，可俯瞰金陵山水的纠缠 (20180722) 。小诗 (20180728) 原本是感怀夏日登山之感，此处感佩于晶体位错这样的古老现象亦可以跟量子联系起来，使人有遣怀人生得意失意须登高望远之感慨。

(4) 封面图片展示了一对量子态之间的纠缠，说明经典物理学意义上的所谓 impossible physics 。图片取自 https://www.unariunwisdom.com/impossible-physics-exploring-quantum-entanglement/ 。

本文转载自《量子材料QuantumMaterials》微信公众号

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