博弈论：反直觉的“海盗分金”，看似后下手为强，实则先下手为强

设想有5个海盗，他们拿到了100枚金币。

为了分配这100枚金币，5个海盗想到了一个办法：

先抽签，给5个人排出顺序。

首先由1号提出分配方案，5个人投票，有超过半数的人同意，方案才被通过，否则就把1号扔进海里喂鲨鱼。

然后由2号提出分配方案，4个人投票，有超过半数的人同意，方案才被通过，否则就把2号扔进海里喂鲨鱼。

以此类推……

“海盗分金问题”，问的就是：

如果你是1号，提出怎样的方案，才能防止被扔进海里，同时还能分到尽可能多的金币？

另外还有一些补充条件：

1. 每个海盗都想分到尽可能多的金币。

2. 每个海盗都不想被扔到海里。

3. 每个海盗都绝对理性。

4. 每个海盗都有完美的推理能力。

5. 每个海盗都会严格执行规则。

6. 每个海盗都知道以上五个条件。

先下手为强

乍一看，很多人可能会觉得1号已经完蛋了，没法补救。

这种想法是：

不管1号提出什么方案，其它海盗都会否定。把1号扔到海里，4个人分金币，每个人分到的金币，总比5个人分金币更多。

按这种想法，5号最占便宜，最终的结果基本可以确定：

5号独吞100枚金币，其他四个人都到海里喂鱼。

不过，别忘了每个海盗都有完美的推理能力，他们事先就能做出上面的所有分析。

做出上面的分析以后，1、2、3、4号的海盗肯定不会坐以待毙，我们可以从4号开始分析他们的行动。

如果只剩4号和5号，那么只有两个人都同意4号的方案，4号才不会被扔到海里。

此时，如果5号反对，5号就能独吞100枚金币。就算4号把100枚金币都分给5号，也不能保证5号同意4号的方案。

所以，如果4号想保命，就不能让“只剩4号和5号”的情况出现，4号应该保证3号不会被扔进海里。

此时再分析3号的行动。

3号也可以做出上面的所有分析，他知道：不管自己提什么方案，4号都会同意，5号都会反对。至于3号本人，当然也会同意。

不管3号提出什么方案，投票的结果都是2:1通过，所以3号就可以尽情提方案，独吞100枚金币（注意，每个海盗都想分到尽可能多的金币）。

所以3号提出的方案一定是：

（100，0，0）

3号独吞100枚金币，4号和5号分不到任何金币。

此时再分析2号的行动。

2号也可以做出上面的所有分析，他知道：不管自己提什么方案，3号都会反对，达到独吞100枚金币的目的。4号和5号也知道3号独吞100枚金币的计划。

此时剩下四个人，2号想让自己的方案被通过，就要得到三票同意，必须把4号和5号都争取过来。

所以2号提出的方案一定是：

（98，0，1，1）

2号拿98枚金币，3号不拿金币，4号和5号各拿一枚金币。

此时再分析1号的行动。

1号也可以做出上面的所有分析，他知道：不管自己提什么方案，2号都会反对，达到霸占98枚金币的目的。3号、4号、5号也知道2号霸占98枚金币的计划。

此时有五个人，1号想让自己的方案被通过，就要得到三票同意。可以确定的是：1号一定会同意，2号一定会反对。

所以1号只要在3号、4号、5号中拉拢两个人就行了。

• 最容易拉拢的是3号，因为在2号的方案中，3号不拿金币。所以只要给3号一枚金币，就能让3号同意1号的方案。

• 至于4号和5号，随便选一个人拉拢就行了，此时要给其中一人两枚金币。因为在2号的方案中，4号和5号都能拿到1枚金币，如果1号只给一枚金币，不能保证4号或5号一定会同意。

所以1号提出的方案一定是：

（97，0，1，2，0）

（97，0，1，0，2）

最终结果是：1号拿到97枚金币，是全场最佳，先下手为强。

再次分析

以上的内容是“海盗分金问题”的“标准答案”，不过我个人觉得这个答案很差劲，根本就没有体现海盗们完美的推理能力。

在5个海盗的情况下，得出1号的方案后，应该再次分析2号的行动。

2号可以做出上面的所有分析，他知道：1号提出的方案一定是（97，0，1，2，0）或（97，0，1，0，2）。

为了把1号扔到海里，2号会更改（98，0，1，1）的方案，改成：

（95，2，3，0）

（95，2，0，3）

1号、3号、4号、5号也都能做出上述分析，所以1号为了保证“自己一定不会被扔到海里”，也需要更改原本的方案。

1号会针对2号的最新方案，提出：

（93，0，3，4，0）

（93，0，3，0，4）

2号也可以做出上述分析，会针对1号的最新方案，提出：

（91，4，5，0）

（91，4，0，5）

1号也可以做出上述分析，会针对2号的最新方案，再次提出新方案。

结果就是：1号和2号互相博弈，把尽可能多的金币分给3号，以及4号和5号中的其中一人。

• 1号的方案，让3号获得的金币数量是奇数。

• 2号的方案，让3号获得的金币数量是偶数。

所以，总共100枚金币，是一个非常微妙的条件，我们可以直接看一看，博弈的最后几个回合：

1号的方案：

（37，0，31，32，0）

（37，0，31，0，32）

2号的方案：

（35，0，32，33，0）

（35，0，32，0，33）

此时，如果1号还想拉拢人，就必须让出67枚金币（3号得到33枚金币，4号或5号得到34枚金币），1号自己只能得到33枚金币。

最终结果对2号更友好（当然，欢迎大家提出其他观点）。

还是按照“海盗分金问题”的“标准答案”分析。

保持金币总数不变，可以把海盗的人数增加，比如6个海盗。

那么上面的1号就变成现在的2号，现在的1号知道现在的2号提出的方案一定是（97，0，1，2，0）或（97，0，1，0，2）。

（注意，以下的序号都是指六个人排出的序号。）

此时有六个人，1号想让自己的方案被通过，就要得到四票同意（除自己之外，要拉拢3个人）。

分析过程和上面类似，不过要注意：此时不确定2号会把两枚金币分给5号还是6号，所以不能提出：

（96，0，1，2，0，1）

（96，0，1，2，1，0）

真正稳妥的结果应该是：

（94，0，1，2，3，0）

（94，0，1，2，0，3）

还可以进一步推广，如果有7个海盗，1号需要在除自己之外，拉拢3个人，方案是：

（94，0，1，2，3，0，0）

值得注意的是，此时（7个海盗）不再有“不确定”的金币分配。

如果有8个海盗，1号需要在除自己之外，拉拢4个人，方案是：

（95，0，1，2，0，0，1，1）

如果有9个海盗，1号需要在除自己之外，拉拢4个人，方案是：

（95，0，1，2，0，1，1，0，0）

（95，0，1，0，0，1，1，2，0）

（95，0，1，0，0，1，1，0，2）

值得注意的是，此时（9个海盗）再次出现“不确定”的金币分配。

如果有10个海盗，1号需要在除自己之外，拉拢5个人，方案是：

（94，0，1，2，0，1，0，0，1，1）

（94，0，1，0，0，1，2，0，1，1）

（94，0，1，0，0，1，0，2，1，1）

值得注意的是：海盗总人数大于等于9人（远少于100人）的时候，一定会出现“不确定”的金币分配。并且，除了1号，只有一个人只能分到两枚金币，其他人最多只能分到一枚金币。

上面这个结论可以用数学方法推导出来，感兴趣的读者可以试一试。

很多读者可能想问：

写了这么多，“海盗分金问题”到底有什么实际意义？

很可惜，实际意义太敏感，我没法写，只能在这里给一部分读者道歉。