既复杂又重要的数学理论——结理论，关于它的一个猜想有了新突破

结论（扭结理论）是一个数学分支，属于拓扑学的领域。它研究的是空间中的结，也就是将一条绳子首尾相接形成的闭合曲线。这些结可以是三维空间中的曲线，也可以是更高维度空间中的对象。

结论起源于19世纪，当时数学家庞加莱（Pierre-Gustave Poincaré）提出了结论的基本观念。庞加莱发现，通过研究结的性质，可以了解它们在高维拓扑空间中的行为。自那时以来，结论已经发展成为一个广泛的研究领域，涉及到许多不同的数学分支，如代数、几何和组合拓扑学。

大约60年前，拉尔夫·福克斯（Ralph Fox）提出了一个关于结的问题，至今仍困扰着数学家们。这个问题现在通常被表述为切片-彩带猜想（slice-ribbon conjecture）。这个猜想涉及两种类型的结：切片结（Slice Knots）和彩带结（Ribbon Knots）。

切片结是指那些在四维空间中可以找到一个无奇异性的圆盘的结。换句话说，当我们从三维空间扩展到四维空间时，切片结的奇异性可以消除。

• 无奇异：在数学中，无奇异（Non-singular）通常指一个数学对象在某些特定点表现得良好，没有出现意外的行为。在结论的背景下，讨论的是圆盘在某些点的行为。无奇异性意味着圆盘在整个结上都表现得良好，没有出现任何突变或不连续的地方。
• 圆盘：在数学中，圆盘通常指一个平面区域，其边界是一个简单的闭合曲线。在结论中，一个结（如一段绳子）可以被视为边界，而圆盘是由这个边界所围成的区域。这里所说的圆盘可能与我们日常生活中所理解的圆盘有所不同，因为它可以在不同维度的空间中表现出各种形状。在结论中，我们可以将这个概念从二维空间（平面）扩展到三维和四维空间。

• 这个简单的彩带结示例展示了由结围起的圆盘如何穿过自己。所有的彩带结，包括这个，都已知是切片的，但所有的切片结是否都是彩带结仍然是一个悬而未决的问题。

彩带结是指其圆盘类似于彩带的结。在三维空间中，这些彩带可以穿过自身，就像普通的彩带可以通过在其中心切开后穿过一样。在数学上，这种穿过称为彩带奇异性。与其他类型的奇异性不同，通过进入四维空间，彩带奇异性可以轻易地消除。这使得数学家很容易证明所有的彩带结都是切片结。

切片-彩带猜想提出，所有切片结都是彩带结。换句话说，猜想认为这两类结实际上是相同的。这个猜想已经存在了几十年，尽管有许多努力试图证明或证伪它，但到目前为止还没有得到解决。如果这个猜想被证实为真，它将揭示出结的世界中具有优雅的简单性和内在结构。

为了进一步复杂化问题，切片结还有几种相关的分类，包括“光滑切片”和“拓扑切片”。这个猜想只适用于“光滑切片”类型的结，这也是数学家通常所说的“切片”

为了反驳这个猜想，只需找到一个既是光滑切片但不是彩带结的结。几十年来，数学家们一直关注着一个候选者：由穿过一个八字结的第二条绳子制成的（2,1）缆绳八字结（the (2, 1) cable of the figure-eight knot），然后将两条绳子合并为一个结。

在（2,1）缆绳结中，数字（2,1）表示缆绳结的构造方式。这里的两个数字分别是纵向和横向的缠绕次数。在（2,1）缆绳结的例子中，数字2表示第二条绳子沿着八字结的每个部分绕两次。数字1表示横向的缠绕次数，即第二条绳子在横向上绕原始八字结的次数。所以，在这个特定的例子中，（2,1）缆绳八字结是由第二条绳子沿着八字结的路径绕两次并在横向上绕一次所形成的。这种构造方法导致了一个更复杂的结，数学家们一直在研究它与切片-彩带猜想之间的关系。

• 1994年证明了（2,1）缆绳八字结不是彩带结。

1980年，Akio Kawauchi证明了这个结既是有理切片结，又是代数切片结，这些性质与光滑切片结相似，但又不完全相同。1994年，Katura Miyazaki证明了它不是彩带结，为数学家留下了一个悬念。如果Akio Kawauchi的结果能稍作加强以证明该结是光滑切片结，那将证明这个猜想是错误的。

然而，在最近的一篇论文中，5位数学家证明了这个问题中的结终究不是切片结，从而关闭了这扇门。

新的证明方法是基于一种称为分支双重覆盖（a branched double cover）的概念。你可以通过想象一个中空的球体，例如篮球，来理解这个概念。要制作一个篮球的分支双重覆盖，沿着经线从上到下切开篮球。接下来，从你切开的地方拉扯橡胶的一侧，沿着赤道拉伸，直到材料完全包裹起来。完成这个变换后，你就得到了一个由两层可互换材料制成的篮球，因此被称为“双重覆盖”。（在这种情况下，橡胶可以在不破裂或皱缩的情况下任意拉伸和扭曲。）

“分支双重覆盖”中的“分支”来自于变换的一个特点。因为是水平拉伸的，球的最顶部和最底部，即北极和南极，仍然只有一层。这些点被称为分支点，它们的存在使得双重覆盖变成了分支双重覆盖。

在结的情况下，分支双重覆盖是以这样一种方式组装的，即分支点就是结本身：就像篮球的北极和南极一样，这些点只被覆盖一次。就像篮球包围着一团空气一样，切片结的分支双重覆盖包围着一个特定的四维形状。如果数学家们能证明一个结的分支双重覆盖没有包围正确的4D形状，他们就可以排除这个结是切片结的可能性。

但是，对于八字结的（2,1）缆绳，这种方法并不完全适用：它的分支双重覆盖确实围绕着正确类型的四维形状。证明八字结的（2,1）缆绳不是切片依赖于一种经常被忽视的形状对称性。

当你拉伸篮球表面以形成分支双重覆盖时，可以想象对篮球内部的三维气球做类似的操作。当你拉扯球的橡胶时，也把空气拉扯出来。就像两层橡胶可以互换一样，气球中有两个半球都在同一个地方结束。换句话说，球体外部的对称性延伸到了内部。

同样，切片结的分支双重覆盖上的对称性延伸到了内部的4D空间。在尝试证明结不是切片时，数学家通常会忽略这种对称性。但在这种情况下，这是至关重要的。如果新论文的作者能够证明没有这样的对称性，他们就可以得出结不是切片的结论。

尽管这个问题没有明确涉及对称性，但在这个特定情况下，对称性却意外地起到了关键作用，帮助解决了问题。

另一方面，研究人员知道这个结构（指与问题相关的对称性结构）存在，但过去人们没有研究它，部分原因是没有办法追踪这个结构。要检测到这个结构，需要一个精密且高性能的工具。换句话说，这个结构非常复杂，以至于研究人员需要使用高级的数学工具才能揭示它。

为了证明结不是切片，研究团队必须使用与结及其周围空间相关的深奥、复杂的数学方法。他们依赖于比分支双重覆盖更微妙的对称性。在两篇论文中，Dai、Mallick和Stoffregen计算了其中一些性质。他们在去年7月底发表了论文，证明了这个结实际上不是切片。

这篇论文中的想法不仅适用于这个特定的结，还可以应用于许多其他目前被质疑是否为切片的结。虽然这篇论文关注的是一个特定的结，但他们开发的工具将适用于更一般的结族。然而，由于证明了原始结不是切片，切片-彩带猜想仍然没有得到解决。