第七章 比和比例
一 比和比例的性质
1. 定比值定理
比的两项分别乘以或除以不等于零的同一个数，它的比值不变。
公式： a:b=ma:mb，
理由 比的前項就是分数的分子，后項就是分数的分母，比值就是分数的值。根据分数的性質，知道比的两項被同一个数（不等于零）乘或除，比值是不变的。
注意 我們应該記住：任何一个比的后項都不能等于零。
2．連等比定理
如果有許多个比連等，那末它們許多前項的和同許多后項的和的比，等于原有的各个比。
公式：
理由 設以r表原有的各个比的比值，那末可得
a = br , c = dr , e = fr , g = hr ,.......
3．等积定理
比例式的两个外项的积等于两个内項的积。
公式：如果 a : b = c : d ，那末 ad = bc .
理由 因为 a : b = c : d 就是a/b=c/d，由等式的性質，以 bd 乘两边，得
就是 ad = bc .
4．逆等积定理
如果两个数的积等于另外两个数的积，那末这四个数成比例，可以把前面的两个数做两个外项，后面的两个数做两个内项。
公式：如果 ad = bc ，那末 a : b = c : d .
理由 因为 ad = bc ，由等式的性質，以 bd 除两边，得
就是 a : b = c : d .
5．反比定理
如果两个比相等，那末它們的反比也相等。
公式：如果 a : b = c : d ，
那末 b : a = d : c .
理由 因为，a/b=c/d，所以1÷a/b=1÷c/d，就是b/a=d/c。
6．更比定理
比例式中的两个外項可以更調，两个內項也可以更調。
公式：如果 a : b = c : d ，那末
d : b = c : a ,
a : c = b : d .
理由 因为a/b=c/d，以d/a乘两边，得d/b=c/a；以b/c乘两边，得a/c=b/d.
7．合比定理
比例式的第一、二两项的和同第二项的比，等于第三、四两项的和同第四項的比，
公式：如果 a : b = c : d ，那末 a + b : b = c + d : d .
理由 因为a/b=c/d，由更比定理，得a/c＝b/d，再由连等比定理，得
(a + b)/(c + d)=b/d
最后再由更比定理，得
(a + b)/b=(c + d)/d
注意 如果先利用反比定理，也可得 a + b : a = c + d : c .
8．分比定理
比例式的第一、二两項的差和第二項的比，等于第三、四两項的差和第四項的比。
公式：如果 a : b = c : d ，那末
a - b : b = c - d : d .
理由 在原比例式的两边各減去1，得
(a/b)-1=(c/d)-1.
就是 (a-b)/b=(c-d)/d
注意 合比定理如果仿照这个方法来証明，只要在原比例式的两边各加上1，比較簡便。又分比定理的結果也可写作
a - b : a = c - d : c .
9．合分比定理
比例式中第一个比两項的和同差的比，等于第二个比两項的和同差的比。
公式：如果 a : b = c : d ，那末
a + b : a - b = c + d : c - d .
理由 根据合比定理，知道
(a + b)/b=(c + d)/d (1)
又根据分比定理，知道
(a-b)/b=(c-d)/d (2)
由（1)÷(2)，得
(a + b)/(a - b)=(c+ d)(c-d).
二 比和比例的问题
1．求比值的問題
求两个代数式的比的比值，实际就是把一个分式化簡。又求方程中两个未知数 x 和 Y 的比的比值，必須先把原方程变成 ax = by 的形式，然后可由逆等积定理，得
x : y = b : a 。
例題154．求a2-b2:a2-2ab+b2的比值。
例題155. 已知x2+2y2=3xy，求 x : y 的比值．
解 把原方程移項，得x2-3xy+2y2=0.
把左边分解因式，得
( x - y )(x-2y)=0.
两式的积是0，那末至少有一个因式的值等于0.
如果 x - y =0，移項得 x = y ，由逆等积定理得
x : y =1:1=1.
如果 x -2y=0，移項得 x =2y，由逆等积定理得 x : y =2:1=2.
2．求比例的未知数
利用比例的性質和等式的性質，可以求比例的未知数。算术中的比例式只有一項含未知数，代数中的比例式可以有几项含未知数。这种比例式实际就是分式方程。
例题156. 求下列比例式中的 x :
解 由比例的等积定理，得
两边都除以a2b2，得
例题157． 求下列比例式中的 x :
解 由比例的等积定理，得
(a+x)(x-n)=(b+x)(x+n).
就是
x2+ax-nx-an=x2+bx+nx+bn .
移項，相消，得
ax-bx-nx-nx=an+bn
左边集項，得
(a-b-2n)x = an + bn .
变系数，得
因为任何一个比的后項都不是零，所以应該把上面求得的 x 的值代入b+x和x-n两式，算得都不等于零，于是知道这是所求的解答．
例題158． 已知 x - y =2ab, a≠0, b≠0，求下列比例式中的 x 和y:
x : y =( a + b )2:( a - b )2.
解 由分比定理，得
x-y:y =(a+b)2-(a-b)2:(a-b)2.
以 x - y =2ab代入，得
2ab:y =(a+b)2-(a-b)2:(a-b)2.
以求得的 x 和 y 的值代入原比例式，检驗后知道，它們是所求的值。
例題159. 求下列比例式中的 x ，但 x 不等于零：
解 由合分比定理，得
代入原比例式，检驗后知道是适合的，所以?是所求的 x 的值。
研究题 三O
1．求下列各比的比值：
2. 求下列各式中的 x : y 的比值：
(1)3x+5y=2x-y
(2)7(2x-3y)=5x
(3)x2-5xy+4y2=0
3. 求下列比例式中的 x :
研究题答案：
最后一个问题。
问：已知a:b=2:3，b:c=2:5，求a:b:c=？
解：用古代数学家刘徽的齐同术可以解决连比问题。
a:b=2:3=4:6
b:c=2:5=4:10
∴a:b:c=4:6:10
∴a:c=4:10=2:5
齐同术可以使三率悉通矣。
科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。
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