对生产线制程能力和不良率的数学理解

鉴于企业咨询过程中，发现的问题，特就生产过程制程能力和不良率的原理做出解答如下：

有这样一个生产过程：USL=6.02，LSL=5.98，样本均值μ=6.00354，标准差σ=0.015622（整体），请问总体不良率是多少？过程能力如何？

解答：

样本均值μ=6.00354，标准差σ=0.015622（整体），这就是服从N(μ，σ2)，

N(6.00354，0.0156222)的正态分布。因为是非标准正态分布，所以要计算概率值（缺陷率）就要转换为标准正态分布来计算。计算公式为：Z=（X-μ）/σ。

我们现在是要计算超出USL的概率值（缺陷率）和低于LSL的概率值（缺陷率），实际就是先求在标准正态分布中，USL和LSL处的ZUSL和ZLSL值，然后再计算超出和低于ZUSL和ZLSL概率值，就得到了缺陷率。因为计算概率中都是计算向左累积的概率值，故：

USL=6.02，LSL=5.98

1.计算超出USL的缺陷率（P(X＞ZUSL)）

ZUSL=（X-μ）/σ=（USL-μ）/σ=（6.02-6.00354）/0.015622=1.05

P(X＜ZUSL)＝P(X＜1.05)的值可以查标准正态分布表，得P(X＜1.05)=0.8531，我们要求的是P(X＞ZUSL)=P(X＞1.05)，则P(X＞1.05)=1- P(X＜1.05)=1-0.8531=0.1469（这就是大于USL的不良率）。

另外，我们还可以，P(X＜ZUSL)=φ(1.05)=NORMSDIST(1.05)=0.8531

则P(X＞1.05)=1-P(X＜ZUSL)=1-φ(1.05)=1-0.8531=0.1469（这就是大于USL的不良率）。

2.计算低于LSL的缺陷率（P(X＜ZLSL)）

ZLSL=（X-μ）/σ=（LSL-μ）/σ=（5.98-6.00354）/0.015622=-1.5

P(X＜ZLSL)＝P(X＜-1.5)=φ(-1.5)=1-φ(1.5)，可以查标准正态分布表φ(1.5)=0.9332，则P(X＜ZLSL)=1-φ(1.5)=1-0.9332=0.0668（这就是小于LSL的不良率）。

另外，我们还可以，

P(X＜ZLSL)=φ(-1.5)= NORMSDIST(-1.5)=0.0668（这就是小于LSL的不良率）。

3.计算总缺陷率

P(X＞ZUSL)+ P(X＜ZLSL)= 0.1469+0.0668=0.2137，即0.2137×106=213700ppm

4.计算Zbench

总缺陷率=0.2137，合格率=1-0.2137=0.7863。

计算Zbench的值就是计算合格率（概率）为0.7863时的Z值，就等于是“返回标准正态分布的区间点”，即φ-1（0.7863）查“标准正态分布表”得“Zbench=0.79≈0.8”。

另外，我们还可以：

Zbench=φ-1（0.7863）=NORMSINV(0.7863)=0.7936≈0.8

5.计算西格玛水平

该过程的西格玛水平= Zbench+1.5=0.8+1.5=2.3

（统计质量管理专家李颖）