由正割余割幂积不定积分的递推公式，推导有偶指数的积分公式

老黄对全套三角函数幂积不定积分公式的推导已经逐渐到了尾声。越是到后面就越是困难。这回老黄要由正割余割幂积不定积分的一个递推公式入手，推导出两个指数中，至少有一个是偶数的积分公式。这套公式倾注了老黄很多心血，可惜重视知识的人太少。官方也选择完全漠视！

这套公式完全是由余弦正弦的幂积不定积分递推公式演化出来的。余弦正弦的幂积不定积分记作I(m,n)，其中m是余弦的指数，n是正弦的指数。它的递推公式在老黄之前很多作品中都有分享了。而正割余割的幂积不定积分，其实就是指数为负数时的余弦正弦幂积不定积分，即I(-m,-n). 我们可以记为J(m,n).

当m≠1时, 给被积函数乘上一个sinx，再除以一个sinx，cscx的指数就会加1，而(secx)^msinx，其实是(secx)^(m-1)/(m-1)的导数，可以凑到微分中。

然后对得到的不定积分运用分部积分法，再把微分部分求出来，就可以实现m除2次幂，n升2次幂。

这样的话，只要正割是偶数幂，我们就可以通过对m不断降幂，一直降到零，从而得到最终的公式形态。

同样的道理，当n≠1时, 可以给被积函数乘上一个cosx，再除以一个cosx，secx的指数就会加1，而(cscx)^ncosx，其实是-(cscx)^(n-1)/(n-1)的导数，也可以凑到微分中。接下来依然是运用分部积分法，再求微分，从而实现将n降2次幂，m升2次幂。

同样只要余割的指数是偶数，就可以通过对n不断降幂，一直降到零，从而得到最终的公式形态。综上，只要正割和余割的指数中，有一个偶数，就可以通过将偶指数降到0次，得到公式的最终形态。

上图是当m是偶数时的公式形态。其中余割正整数幂的不定积分也是有公式的，在《老黄学高数》系列学习视频第268讲和第275讲中，都有介绍。

运用这个公式来做一道例题：例1：求∫(secx)^4*(cscx)^3dx.

例题的答案，老黄都已经检验过了。

上图是余割的指数为偶数时，推导得到的积分公式。正割正整数幂的不定积分，在《老黄学高数》中是与余割相关公式一起介绍的。同样看一道例题：

例2：求∫(secx)^3*(cscx)^6dx.

当然，如果正割和余割的指数都是偶数的话，我们有两个公式可以选择，可能得到两个形式完全不同的结果。我们一般都会选择较小的那个偶指数进行降幂，因为那样会简便得多。而当两个指数都是偶数且相等时，两个公式得到的结果形式会非常相近，但细节上仍有较大的区别。最有趣的是，这时可以得到正割和余割的4倍数幂差的不定积分公式。

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