从伽罗瓦到诺特，看抽象代数的诞生与发展

抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科。是现代数学理论三大支柱之一，抽象代数学对于全部现代数学和一些其它科学领域都有重要的影响。并且随着数学中各分支理论的发展和应用需要而得到不断的发展。

今天我们就来聊聊抽象代数的发展史。

伽罗瓦理论——抽象代数的诞生

伽罗瓦于1811年出生， 16 岁时候才接触数学，他在一年的时间里，自学了法国著名数学家勒让德尔的《几何原理》、那末拉克朗日的《论数值方程解法》、《解析函数论》、《函数演算讲义》，还逐渐熟悉了欧拉、高斯、雅科比的著作。

影视作品里的伽罗瓦

后来，他曾经多次向科学院投稿，然而柯西遗漏了他的论文、傅立叶接到论文之后暴毙、泊松直接看不懂。

经历三次挫折的伽罗瓦投身政治，抗议国王的专制统治，以“企图暗杀国王罪”不幸被捕在狱中，更加不幸的是，在监狱里他还染上了霍乱。

电影中的伽罗瓦形象

刚出狱的伽罗瓦想把自己的数学成果发表，又被人陷害再次入狱。

这个时候他在监狱里爱上了一个烟花女子，偏偏这个烟花女子的情敌还是一个军官，伽罗瓦为了心上人答应了和情敌比枪。。。

伽罗瓦画像

1832年5月30日晚上，第二天将要去决斗的伽罗瓦知道自己必死无疑，他想要将自己短暂一生的研究成果都给记录下来，据说遗稿空白处还写着“我没有时间了，我没有时间了。。。”。

伽罗瓦手稿

第二天，伽罗瓦在决斗中一枪被军官直接被打穿了肠子。他的朋友 Chevalier 遵照伽罗瓦的遗愿，将他的数学遗稿寄给高斯与雅科比，但是都石沉大海。

直到10年之后，法国著名数学家刘维尔看到了伽罗瓦的手稿，经过严密计算，最终肯定伽罗瓦结果之正确、独创与深邃，他还花了很久的时间对其进行阐释说明，1846年最后将其发表在极具有影响力的《纯粹与应用数学杂志》上，并向数学界推荐。

刘维尔

由此，伽罗瓦这份手稿上的“伽罗瓦群理论”才得以在数学界大放异彩。“伽罗瓦群理论”中最华彩的部分就是天才般地提出了“群论”这个概念。

伽罗瓦手稿

伽罗瓦理论本来是为了区分五次方程能够求解的和不能求解的多项式，它的革命性在于其洞察到了多项式的解的对称性可以由多项式本身观察到而不必求解，而这一对称性本身完全决定了其解是否存在根号表达式。所以为了描述对称性，他引进了群的想法。

一般说来，群指的是满足以下四个条件的一组元素的集合：（1）封闭性 （2）结合律成立 （3）单位元存在 （4）逆元存在。

伽罗瓦群理论解决了一般高于四次的代数方程能否用根式求解的问题，而且还建立了具体数字代数方程可用根式解的判别准则。

而且利用伽罗瓦群理论更是一举解决了 2000 多年悬而未决的几何学三大难题。这三大难题分别是：

三等分角问题：将任一个给定的角三等分。

倍立方体问题：求作一个正方体的棱长，使这个正方体的体积是已知正方体体积的二倍。

化圆为方问题：求作一个正方形，使它的面积和已知圆的面积相等。

总结而言伽罗瓦理论群提出了解决这一类问题的系统理论和方法，开辟了全新的研究领域，摆脱了古典代数学利用符号代替具体数学进行计算的特点。

它以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，因而伽罗瓦群理论成为了近世抽象代数的基础。

诺特让抽象代数正式成为了一门学科

伽罗瓦之后，很长时间里，人们只停留于研究具体的群，也就是也就是变换群。由把方程的根互相置换的所有置换组成的置换群，或者是把图形变到它自身的那些变换组成的变换群。

而能不能把各种具体的群的共同特征抽象出来或者能不能不管群的元素具体的特征，而只考虑抽象元素构成的群，正如古典代数学利用抽象符号代替具体的数字只考虑满足数的运算规则，抽象代数也要完成向研究抽象群理论方向发展的转变。

哈密顿推演出更有一般性的几类代数，凯利设计出另一种不可交换的代数——矩阵代数。他们的研究打开了抽象代数(也叫近世代数)的大门。

克罗内克给出了有限阿贝尔群的抽象定义；戴德金开始使用“体”的说法，并研究了代数体；1893年，韦伯定义了抽象的体；1910年，施坦尼茨展开了体的一般抽象理论；戴德金和罗内克创立了环论；1910年，施坦尼茨总结了包括群、代数、域等在内的代数体系的研究。

戴德金对诺特影响很大

他们基本上完成了抽象群理论的构建工作，但是并没有形成完整的理论体系，而真正让抽象代数发展成为一门学科，则要得到诺特。诺特是历史上最伟大的女数学家，她凭借着一己之力创建了完整的实数理论体系。

1920年，她已将“左模”、“右模”的概念引入抽象代数体系。1921年诺特写出的《整环的理想理论》是抽象代数发展的里程碑。爱米·诺特引进了抽象的理想概念。她通过具体环的实例的考察，抽象出来其共同特征，研究其中最重要一类环，即每个理想都满足升链条件。后来这种环称为诺特环。

诺特用这种公理定义的环推广了多项式环的准素分解定理,即任何理想是准素理想的交。她不仅推广以前的结果，更重要是抽象公理方法取得首次伟大胜利。

交换环论还必需对于代数数论的结果做出自己的回答。爱米.诺特在1925年用五条公理来刻划一类包含代数整数环在内的环，她称之为五公理环，后来人们改称之为戴德金环。她证明对于这类抽象的环，戴德金证明的理想唯一分解为素理想的乘积的定理也成立。

1926年诺特发表《代数数域及代数函数域的理想理论的抽象构造》，这篇文章标志着抽象代数这门学科的真正创立。

抽象代数

诺特通过给戴德金环一个公理刻画，指出素理想 因子唯一分解定理的充分必要条件。诺特的这套理论也就是现代数学中的“环”和“理想”的系统理论。

从此代数学研究对象从研究代数方程根的计算与分布，进入到研究数字、文字和更一般元素的 代数运算规律和各种代数结构，完成了古典代数到抽象代数的本质的转变。

简单总结来说，诺特从不同领域的相似现象出发，把不同的对象加以抽象化、公理化，然后用统一的方法加以处理，彻底改变了环、域和代数的理论，构建了完整的抽象代数理论体系。

后人就在诺特的开垦的这块新的庄园里不断培育新的果实。

抽象代数的影响与作用

总结而言，抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科。由于代数可处理实数与复数以外的物集，例如向量、矩阵超数、变换等，这些物集的分别是依它们各有的演算定律而定，而数学家将个别的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来，并因此而达到更高层次，这就诞生了抽象代数。

现代数学时期是指由20世纪40年代至今，这一时期数学主要研究的是最一般的数量关系和空间形式，数和量仅仅是它的极特殊的情形，通常的一维、二维、三维空间的几何形象也仅仅是特殊情形。

而抽象代数、拓扑学、泛函分析构建了整个现代数学科学的主体部分。抽象代数不仅是现代数学的重要基础，在计算机、信息、与通信、物理、化学等领域有广泛的应用。

从诺特之后，1930年，毕尔霍夫建立格论，它源于1847年的布尔代数;第二次世界大战后，出现了各种代数系统的理论还出现了布尔巴基学派; 1955 年，嘉当、格洛辛狄克和爱伦伯克建立了同调代数理论。 到现在为止，数学家们已经研究过200多种这样的代数结构，其中最主要的如若尔当和李代数就是不服从结合律的代数的例子。这些工作的绝大部分属于20世纪，它们使一般化和抽象化的思想在现代数学中得到了充分的反映。

布尔巴基学派小组

可以说，抽象代数的诞生过程中涌现了许多的数学家如伽罗瓦、戴德金、施坦尼茨、嘉当等，催生了许多的数学理论，如群论、环论、格论等，也，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。抽象代数已经成了当代大部分数学的通用语言。