压轴题研题活动第76场2022年丽水第24题

精彩点评一

认真学习了吴方银老师对丽水2022年数学中考第24题的研究，对现在七年级的几何教学有很大的启发。此题包含基本图形——三角形，四边形，圆；基本知识点——相似，平行的性质与判定，直角三角形的性质；基本数学思想——数形结合、分类讨论、方程思想等；涵盖内容多，综合性强，但吴老师的讲解由浅入深，抽丝剥茧，最终柳暗花明，体现了吴老师深厚的功力。

如何思考分析一个题目，是老师最需要向学生传达的内容。吴老师从题干中出发，分析了每一个条件，每个条件能得到什么结论，再从联系所证问题，如：如何在同一个三角形中证两角相等？直接证明角或“等边对等角”，由此联系对应方法“平行、互余、垂径定理及平行四边形的性质、直角三角形的性质，平行线分线段成比例”等等。而在第2问中，体现了吴老师平时的教学方式，站在学生的角度思考分析问题，看到比例想相似，看到平行想相似，相似就找基本“8字型”“A字型”图形；同时，第二问也紧密联系了前一问的方法，进一步开发了其他性质，也扩展了“角平分线分线段成比例”的内容，等面积法可证得该结论；

最复杂的第三问，动点问题，让我想到了现在七年级所学的数轴上两点间的距离问题，这是学生刚开始接触数形结合及分类讨论的思想，如何通过读题知道题目需要进行分类讨论（点在射线上运动，四边形顶点的表达方式等），如何讨论（点如何运动，包括特殊位置的可能性），分析变化规律，画出相应静态图形等吴老师讲解的相当细致；而让学生形成这种思维，需要从常规课堂上逐步渗透，形成意识，进而理解，最后运用。解题技巧网络的形成也需要老师平时的引导总结。

学无止境，教无定法，要让学生不怕几何题，教师首先得研究透彻，我的教育之路还很长，希望一直有这样的机会向优秀的前辈学习经验。

精彩点评二

认真学习了吴老师的研题，收获颇多。本题是一道几何综合题，涉及到的图形包括三角形、四边形以及圆，知识范围广，综合性强，难度不小，但吴老师的娓娓道来，细致的讲解让我顿时觉得思路清晰了不少，解题方法的多样也让我的解题思路开阔了很多。

本题的难点在第三问的分类讨论，如何得出所有的情况？这一问中动点众多，要得出四边形中有两边平行的情况，实非易事。如果仅靠想象，很难把所有情况都找全，这就体现了画图的重要性。那如何才能把所有情况找全？需要画图加推理。线段CD在向射线AB方向运动的时候，以A、C、O、F为顶点的四边形在不断变化，字母的顺序都有可能变化，是哪两条边平行也会产生变化，这就给这道题增加了很大的难度。因此，搞清楚图形的变化情况很重要！虽然图形的变化是动态的，但学生在分析时，一定是要画出静态的图来分析，那么，取C点在什么位置画图，画几个图，都成了需要考虑的问题。吴老师根据点C的运动方向，从刚刚从点A出发，画出第一个图形，分析点F的运动方向及四边形各边的变化走向，从而考虑到下一个临界情形，即C、O、F共线的时刻。画出一幅图，就跟着分析图形变化规律及有两条边平行的可能性，直到点C接近点B画出最后一幅图。最终，由点C的一般位置和特殊位置，画出了7幅图，也在画图的过程中分析出了符合题意的四种情况。这样的分析，需要极大的耐心和细心，吴老师的讲解，慢条斯理，细致入微，给了学生足够的时间想清楚图形的变化，也让学生学会了当图形的变化比较复杂时，怎样画出符合题意的图形的方法。

吴老师在教学反思中提到，在平时的几何教学中，要用好没有“如图”的练习题，要给学生充足的时间自主思考，动手画图，变抽象为直观，在自我摸索，自我感知的过程中自主构建全面综合思维意识，在动手实践自我反思中构建分类意识，养成周密思维习惯。只有平时习惯了画准图形，循序渐进，才能在关键时候不畏惧，不犹豫地画图分析。回想自己教学时，有时为了赶时间，就替代学生直接画出图形，再进行推理，但是学生只是眼睛看会了，自己做仍然不会呀！到后面会发现，这“赶”出来的时间，都要用更多的时间去弥补，实在得不偿失啊！还有如几何画板一类的动态演示工具，也要注意使用的时机，它们的作用，不应该是直接演示，而是思考之后的佐证以及构建完整的几何思维轨迹。

感谢吴老师的研题分享，吴老师的研题细致而深刻，各种方法联系紧密又层层递进，思维的形成过程一目了然，画图的逻辑也展现的淋漓尽致，给了我很大启发，在今后的教学中，我也将不断探索，多站在学生的角度，多思考解题方法和画图过程的来龙去脉，给学生营造更有思维深度的课堂氛围，给学生留下更多自主动手的空间！

精彩点评三

认真反复学习了吴老师的研题，其研究之深让我深深佩服，本题是一道圆与三角形、四边形的综合压轴大题，吴老师从不同视角抓住关键点进行解法探究，寻找条件知识与结论知识之间的逻辑联系，向我们展示了一节相当精彩的解题教学。

一、深挖题目条件信息，关注学生思维形成

解题先要读题，本题共有三小问，讲解每一问时，吴老师都是先挖掘题干信息，进行信息解读。第一小问5点重要信息，第二小问4点重要信息，第三小问5点重要信息。吴老师引导学生分析问题信息，并进一步深度挖掘条件背后隐藏信息，从中提取有效的资源作为思维起点，激活知识，自然的形成解题思路。这一点非常值得我学习，在解题教学中，只有关注学生如何利用已知信息进行思考，才能教会学生思考，促其思维能力提升。

二、多维深度思考问题，明晰拓宽解题视野

本题的第一小问是证角相等，常用方法是找平行线或用等角代换；第2小问是利用平行线找相似三角形对应边的比例，这里吴老师都从不同的角度切入，多维思考，激活知识，引导学生找到不同的转换途径从而提取运用不同的知识，为一题多解的探索提供方向，拓宽并发展学生思维。

比较困难的是第3问的解答，需要分类讨论，对于以A、C、O、F为顶点的四边形，有一组对边平行，其中AB与CE有交点，所以AO与CF不可能平行，于是剩两种：CA//OF或OC//AF，再对E、F的位置分类，吴老师分了四种情况娓娓道来，理清思路，明晰解法，唤醒学生已有的知识经验，指向更为广阔的数学思考视野。

三、反思几何教学策略，落实数学过程教学

除了解题思路及方法的精彩，吴老师的解题反思也值得细细品味学习。罗增儒教授指出，解题教学是解题活动的教学，我们要通过解一道题，去体会那种解无数道题的智慧。吴老师通过本题的研究解法为引，举例说明了几何教学中的如何落实过程教学，帮助学生养成自己动手画图作图的好习惯，注重对数学活动经验和数学基本思想方法的积累和渗透，培养几何直观、空间观念。

感谢吴老师细致深刻的研题分享，在今后的教学中，我要时刻向吴老师学习，多做题多研题，精选有价值的题，多鼓励学生自己画图，有的放矢的学习，让学生了解几何的数学价值，增强学习数学的信息。

精彩点评四

学习完吴老师浙江丽水市中考数学24题的研题后，我有三个感触：佩服吴老师研究得深入，问题设置得合理，讲解得通透：惭愧吴老师敢于挑战不好做亦不好讲的难题；对于几何题的教学，特别是培养学生画图能力方面有一些不谋而合的想法。

我佩服吴老师每一问都是先引导学生找已知条件，分析每个条件可以得到什么结论，再引导学生找寻已得到的结论和最终要解决的问题之间的关系，然后层层深入找到解决问题的方法。比如第二问，从不同的线段比为切入点，通过众多第一问可以得到的平行，寻找之间的关联，从而解决第二问。引导学生获取信息的能力强，教会了学生处理已知条件的能力，培养了分析问题的能力。

最佩服吴老师的还是对第三问的处理，这是一个知识点多、综合性强、分类多、难度高的问题，是一个很多老师不轻易去触碰的一道题。但吴老师通过分析已知条件，找到解题的关键是弄清整个图形主动点是C，被动点有点D、E、F、P、G，然后引导学生分析四边形只能对边平行，从而分成两大类。也可以由点E所在的位置分成两大类。但是如何画图辅助分析，是最大的难点。若没有良好的画图能力，造成输入和输出不匹配，就会导致学生们解决不了问题，只能在脑海里有模糊的概念。吴老师没有急于画出图形打断学生的思维，而是引导学生分析在主动点运动过程中被动点的运动轨迹、图形形状、有哪些临界位置、从而有哪些特殊情况，很好地化动为静了，非常值得学习！这既让我佩服，也让我惭愧。

随着教学经验的增多，我越来越意识到，识图画图能力的薄弱，严重地阻碍学生的学习动力。这要求我们从七年级从讲授线段、射线、直线时不能只思考如何清晰明了的讲解好知识点，还要站在学生的角度思考如何设置教学环节，如何选择教学方式。尽可能多的设置动手的环节，如折一折、摆一摆、转一转、画一画、量一量等，需要有意识地培养学生们的画图能力与习惯。具体而言，可让学生依据图形的几何性质作图或严格尺规做图，久而久之，学生即使脱离尺规工具也能比较精确地作图。

个人感言

本次研题选择的是2022年浙江省丽水市中考第24题，是一道几何综合类压轴题。选择这道题原因一方面我看到前面研题中以涉及到函数类问题的居多，纯几何类型的略少，更主要的原因是我平时在数学教学中比较喜欢研究几何类型的问题，也常常利用几何画板把自己认为不满意的图形重新画一遍，特别是经常把教材或练习册或学生带来的几何推理题中涉及到动点问题或分类讨论类问题的图形利用几何画板构图研究，研究规律，研究不同的方法，研究学生可能在哪个环节出现瓶颈，研究如何去启发引导学生的思维，研究如何利用画板呈现的全景动画引导学生的做后反思总结。而刚好浙江省丽水市中考第24题是一道综合性极强的几何题，题设三问从直观到抽象由易到难，从考查学生对几何基础知识的理解、常规常法应用的静态问题，到分类讨论全面综合应用的动态问题，基础问入口宽方法多易上手，过渡问承上启下，压轴问挑战性较大，此题作为考题能较好衡量学生几何方面的思维水平，做为训练题更能发挥很好的巩固基础知识、训练基本技能、提升综合思维能力的作用。所以，个人认为值得研究更值得在教学中借题发挥。

研题的过程就是成长提升的过程，是与自己对话与文本对话的过程。研题不仅仅在研究所选题目本身的解法，还要研教材研课标，更要研教法研学法，是对自已平时教学的反思梳理，更是一次难得的深层次改造。由于是第一次参与线上研题活动，开始研究的重心主要放在了如何去分析题如何去解题上，花了大量的时间在如何把解法较全面准确呈现与制作PPT上，而对解题过程中与解题后的反思感悟深入思考不够，所以导致解题反思部分大而空，没有接地气的内容。没有深入研究思考就没有发言权，黄毅老师所言——教学反思，尽量不要写“正确的废话”，让我感触极深，对我触动很大，于是我努力让自己基于所研题目又跳出题目本身站在学生视角反思作为教师如何去指导学生学习数学如何去分析数学问题解决数学问题。数学老师不是自己能解对题能讲对题的解法就算完成任务，而是要教会学生自己能灵活运用所学数学知识解决数学问题，培养学生在解决数学问题中形成数学思想方法，帮助学生建构自己的认知体系。

通过研题让我第一次真正如此深入走进一道几何综合题，每一问都研究更多的不同的解法，研究每一种解法的思维起点与落脚点，思考如何引导学生找到某种方法的切入点。在本题第1小问中可能对学生来说真正面对时也就用到一种方法，比如讲解中的方法1、2直接证∠CAG=∠AGC可能相对来说学生易上手，选择的可能性最大，而通过证CG＝CA的方式相对复杂一些，但是作为一道训练题，通过让学生不同角度思考不同的方法可帮助学生加强各知识间的逻辑联系，更清晰理清条件间的关系，为后面问题的解答奠定基础。对于第3小问虽然在分享交流中展示了如何审题如何引导学生构图如何对每种情况用不同的方法解答，但细想仍觉得还是比较抽象空洞，因为每个学生面对此问认知感受是不同的，思维的障碍点也是不尽相同的，老师如何针对自己的学生的情况刚刚好找准时机引导到那个恰到好处的点是难以把控的，因为在实际教学中，当学生面对有挑战性的问题时，教师的引导时机与火候不当有时会打击到学生的自信心，有时也会让学生觉得索然无味，这是一个教学机智的问题，更是教学的艺术所在，处理不当会让一道好题的价值大打折扣。正如几何画板动态效果图的呈现时机一样，需要审时度势、因势利导，不可杀鸡取卵、急于求成。

参与研题让我认识到自己会做题是远远不够的，通过反思深感自己在教学中研究如何教会学生解题，如何帮助学生会学数学学好数学上十分欠缺，深刻认识到自己还有很大的提升空间，学无止境，任重而道远。真的要感谢张钦博士搭建这个线上研学研教研题平台，感谢以黄毅老师为代表的“毅讲就会”团队的用心组织默默付出，特别感谢高先敏老师、黄毅老师、秦琴老师等老师的帮助鼓励与指导，还要感谢刘梦倩老师、周芊芊老师、张红丽老师、石习鸿老师的点评，你们的鼓励是我不断努力的动力，你们的建议是我进步的阶梯，感谢有你、有你们。能力有限，本期研题耽误各位专家同仁宝贵时间，实在抱歉，我会认真吸纳意见汲取教训，在今后的工作学习中，不忘初心，坚守初心，虚心学习，努力向一名研究型骨干数学教师奋斗。

吴方银老师简介

吴方银，宜昌市夷陵区分乡初中数学教师，夷陵名师，从教以来一直扎根农村学校从事数学教学工作，工作中积极参与学科教育教学研究与实践，努力培养学生数学学习兴趣，始终坚持做学生的良师益友，当好学生的人生导师，曾获区优质课竞赛一等奖，获区优秀班主任、优秀教育工作者、师德模范等表彰。