如何理解事件的独立性？

同学们在学习概率这一章内容时会遇到一个概念——随机事件的独立性.书中对其的解释是：

“ 直观地，如果两个随机事件 是否发生互相不影响，就认为它们是独立的.这时它们同时发生的概率等于它们各自发生的概率的乘积，即成立

在这里，用“ 同时发生的概率等于它们各自发生的概率的乘积”来定义事件 与事件 （相互）独立在数学上是没有任何问题的.但是，该如何理解“ 是否发生互相不影响”这句话呢？今天大小吴就和大家来聊聊随机事件的独立性.

1 错误的理解

在最初学习事件独立性这个概念时，同学们往往会和互斥混淆，互斥指的是两个随机事件 没有共同的基本事件，也即这两个事件不可能同时发生.从集合观点看，即两个子集不相交，即满足

用韦恩图表示如下（其中 为样本空间）：

同学们在此处往往会对此产生某种错误的“联想”：

独 立 没 有 关 联

从而将独立性误解为两事件对应的集合不相交，这实际上是将独立性与互斥两个概念混淆了.

我们可以举出一个简单的例子来说明两者的区别.

比如，生一个孩子，现有两事件 ：

孩 子 是 男 的

孩 子 是 女 的

那么显然，此时事件 就是互斥的，这两个事件不可能同时发生.

再比如，生两个孩子，也有两事件 ：

第 一 个 孩 子 是 男 的

第 二 个 孩 子 是 女 的

那么此时事件 就是独立的，因为不难理解：第一个孩子的性别和第二个孩子的性别，这两者肯定是互不影响的，而且性别为男或女的概率都为 .

现在我们来研究一下 ，其含义是“生两个孩子，第一个孩子是男的，第二个孩子是女的”. 的概率很直观，其实就是：

这里，实际上用到了独立性的定义进行计算.

在韦恩图中可以有如下表示：

实际上，事件 还包含了另一种情况（左）：第一个孩子和第二个孩子都是男的.同样地，事件 也包含了另一种情况（右）：第一个孩子和第二个孩子都是女的.

（当然，还有第四种情况：第一个孩子是女的，第二个孩子是男的.这种情况也在样本空间 中，但它在 两个圈之外）

我们发现，虽然在这里事件 互相独立，但是两者是有交集的，这是区别于互斥事件最重要的一点.

2 条件概率

那么，为什么会产生这种现象呢？要充分理解这件事，我们先要学习一个概念——条件概率.

现在考虑这样一个问题：袋中有2个白球，2个黑球，现在从袋中不放回地连续拿两次球，求两次都拿到白球的概率.

这个问题需要注意的是“不放回”这个条件，也就是说，第一次抽取一定会影响第二次抽取.

我们对此进行简单的分类讨论便可得知：

依据题意，我们希望发生的是路径①.

那么，路径①的概率该如何计算呢？

我们记事件 为：

第 一 次 抽 到 白 球

第 二 次 抽 到 白 球

显然，第一次抽到白球的概率是

接下来，我们希望计算的是当第一次抽到白球后，第二次也能抽到白球的概率，也即“ 已经发生的条件下 发生的概率”，我们称之为条件概率，用 来表示.由于 发生后，袋中剩余是“黑、黑、白”，所以

那么，路径①（两次均抽到白球）的概率即为

其他三种情况的概率也可以用相同的方法计算出来，实际上，总的四种情况的概率之和为1.

了解了条件概率，我们就可以理解什么是事件的独立性了.

上述例子的事件 显然不是相互独立的，因为 的发生对 造成了影响.并且由前述讨论， 的概率需用条件概率计算

这让我们联想到两事件相互独立所满足的公式

对照这两个式子，我们能得到一个结论：如果 两事件不独立，就一定有

其实在白球黑球这个例子中， 显然是不等于 的，其根本原因就在于这个问题一开始就限定了“不放回”的游戏规则.如果说把游戏规则改为“放回”，则情况便截然不同了.由于放回这个机制的存在，每次抽球的概率都是恒定的，永远为 .

也就是说，在放回的条件下， 两事件互不影响，它们便是相互独立的.换句话说，如果 两事件相互独立，就一定有

实际上，这便是相互独立事件的本质.

从韦恩图来理解， 指的是 在样本空间 所占的比例.

而 指的则是 在 中所占的比例.

两事件相互独立便意味着，这两个比例是一致的，形象地说，对于 来说， 就是 的“缩影”.

现在你可以理解什么是事件的独立性了吗？

参考文献[1]金天寿.对事件独立性的再认识[J].数学通报,2012,51(03):24-26.[2]马林.比较研究，相互独立事件教学的有效举措[J].数学通报,2008(04):55-56+58.

转载内容仅代表作者观点

不代表中科院物理所立场

如需转载请联系原公众号

来源：大小吴的数学课堂

编辑：牧鱼

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.