压轴题研题活动第63场2021年扬州第27题

精彩点评一

江苏扬州市中考数学第27题，是圆的综合题，涉及到圆的基本性质和计算，三角形相关知识，矩形相关知识，还有勾股定理等等。用一个活动探究引出题目，层层铺垫，由易到难，也为第3问的升华承上启下。在饶老师讲题之前，我先自行做了一遍，发现本题的难点是学生的作图问题，该怎么突破这个难点呢，饶老师在本场讲题中给出了非常好的反思教学，通过饶老师的讲题学习，我收获较多，对于今后的教学有很好的启示！

在第一问，饶老师便给出了3种解题思路，从2个角度求半径的长，利用圆心角，圆周角相关知识解题。并且饶老师及时进行思维拓展，将这一类问题进行归纳总结，“定弦定角”问题的条件和结论，帮助学生能学一题会一类。

第二问比较角的大小时，饶老师先是将可能出现的情况的图全部不重不漏的画出来，继而进行分析点与圆的位置关系。回归教材，教材中在引导学生推理圆周角定理的时候也是像这样分成3类。通过研题，饶老师引导我们回归课本，课堂，注重数学基础知识，基本技能的训练，加强对平时教学的指导，数学思想是数学基础知识、基本技能的本质体现，是灵活应用数学知识、技能的灵魂。

第三问的第一小问是求线段的最小值，饶老师引导我们加入圆，根据前面的推理和定角问题，引入圆非常自然和重要，然后通过观察、猜想、证明等一系列数学活动找到最小值，饶老师在紧抓对学生的基本技能和基本知识的培养的同时还非常注重对学生的数学素养的培养。最后一小问更是注重对学生的作图等基本技能的培养，饶老师从2种思路用4种解法分析如何作图如何分析解题。在最后的反思环节更是举一反三让学生能够多动手练习，再就是对隐圆问题进行分类，从4个方向分析并结合中考题说明，体现了饶老师对这一类题的用心钻研，让我敬佩！

在教学反思环节，饶老师再次强调加强学生作图能力的培养，提高学生的分析、转化能力，通过一系列的变式让学生能够动手去做，我想饶老师的学生一定非常善于动手善于思考！饶老师还注重概念的内涵和外延，提升学生应用知识的能力。课本上的基本知识比如圆周角的概念，概念的延伸就是本题的第2问。这也体现了为什么我们要读清教材，读懂教材，还要钻研教材。

最后感谢饶老师给我们带来了如此精彩的研题，也让我受益匪浅！

精彩点评二

《圆》这个单元学完后,我们常碰到一个基本图形:已知AB为定线段,C为动点,且∠ACB=90°,根据"直径所对的圆周角为直角",我们能推出则动点C是以AB为直径的圆上任意一点.将此结论进行拓展:若AB为一定线段,点C为动点,且∠ACB大小为一固定值,则A,B,C三点必共圆,或称点C一定在以AB为弦的某一个圆上,且这个圆是固定的,圆心在AB的垂直平分线上.

仔细研究2021年扬州市中考数学的第27题,我们不难发现,出题者正是居于该知识点展开讨论,即"定弦定角必有隐圆".其中所涉及的知识点有:同弧所对的圆心角与圆周角的关系,等边三角形的判定,直径所对的圆周角是直角,勾股定理,三角形外角的性质,三角函数,等诸多知识点.同时考察了学生的构图能力,转换的思想,动态的观点,方程的思想等诸多能力的考察.

第(1)问的第一小问求半径,比较简单,饶老师给我们提供了三种方法:①通过连接OB,OC得等边三角形求得.②延长BO交圆于D点,构造直角三角形BCD求解.③过C点作BC的垂线同样构造直角三角形BCD求解.第二小问求三角形面积的最大值.由于底边固定,那么面积的最大值即转换为高的最大值此问讲完后,饶老师对此题进行了深入挖掘,将条件一般化.这是我应该学习的地方,我们在平时的教学中,为了赶时间,对于这类简单的问题往往一笔带过,不愿花时间进行深入的探究与变式.结果是学生往往只听懂了一题.

第(2)问要证明∠BA'C>30°,饶老师从直接证明和间接证明两种方法进行了分析,并对其进行了拓展:此类问题的实质是点与圆的位置关系.

第(3)问是本题的难点.饶老师指出:难在tan∠DPC=4/3如何使用?但无论怎么都满足tan∠DPC=4/3,说明什么呢?∠DPC是一个定角.那么问题就是"定弦定角问题".由于∠DPC一般存在于一个直角三角形中才会发挥它应有的作用,由于∠D是一个直角,所以考虑点P落在AD上,这样就能确定圆的直径.然后在此基础上展开分析与讨论.这种做法是学生常见的一种方法.我发现本题也可以先确定圆心.首先,圆心应该在CD的垂直平分线上.记CD中点为M,假设圆心为O,根据圆心角与圆周角的关系可知:∠DPC=∠DOM,那么tan∠DOM=4/3,由于DM=1,利用三角函数马上可以求出3/4,这样也能很快确定圆心.

在求PB最小值时,饶老师分别从几何的角度和代数(建系)的角度进行,令人耳目一新.最后一小问.饶老师抓住45°这个条件,从不同的方向去构建等腰直角三角形.方法灵活多样,有助于提升学生能力的培养.

在教学反思环节,饶老师提炼出:特殊到一般的探究方法,动点问题的定性探究思路,作图能力的培养途径等方向来阐述如何提高学生的分析,转化能力.并通过具体实例加以佐证,令人信服,避免了空谈.最后饶老师结合教材对初中的隐圆问题进行了梳理.可见饶老师的钻研精神,令人敬佩!

总之,听了饶老师的讲解后,收获很大.我在今后的教学中.要和饶老师一样,对问题进行反思与拓展.努力提升学生的能力.

精彩点评三

此题是一道有关圆的几何综合题，考查了圆周角定理及其推论、垂径定理、三角形、矩形等相关知识。本题非常新颖，通过一次数学探究活动引发学生动手操作并思考，最终得出点A在以BC为弦的两段优弧上，为第三问求线段PB的最小值以及PD的长作铺垫。饶老师在研题过程中，始终抓住“定弦定角”来分析问题并进行拓展，研题之深刻，让我收获颇多。

在第（1）问中，饶老师通过构造圆的半径、直接构造圆的直径、间接构造直径三种方法求出圆的半径；接着饶老师进行了归纳总结，即已知△ABC中的一条边BC，和它所对的角度，得出此三角形是不确定的，点A在以BC为弦的两段优弧上，在此基础上，饶老师将条件一般化，又进行了深入地探究，这点值得我们学习。

在第（2）问中，要证明∠BA'C>30°,饶老师首先通过构造圆周角，再移动点D的位置，观察得出外角型、飞镖型、对顶三角形三种不同的图形，利用外角定理证明出结论，在此问的基础上饶老师再一次进行了思维拓展，通过挖掘点与圆的位置关系来讨论四边形内角的度数情况。

在第（3）问中，要求线段PB的最小值，只知点P在直线CD的左侧，具体在什么位置呢？饶老师通过分析已知条件∠DPC的正切值为4/3，得出∠DPC是一个定角，只是这个角的位置在不断地变化，由“定弦定角”问题确定了点P的运动轨迹，通过点P在BC上这一特殊位置，加上矩形的内角为直角，可以求出圆的直径，再让点P运动起来，通过观察、猜想、证明来确定当PB为最小值时点P的位置，最后根据垂径定理或者建系来求出最值，这一过程思路相当清晰。最后一小问，增加两个三角形面积之间的数量关系，得出∠PDC为45°，饶老师始终抓住45°，从不同的方向去构造等腰直角三角形，培养了学生的思维能力。

最后在教学反思环节，饶老师总结了从特殊到一般，再从一般到特殊的探究方法，并强调了加强学生作图能力的培养，在作图过程中培养学生分析问题、解决问题的能力，饶老师用具体的实例加以讲解，让反思内容更加具体，深刻。饶老师非常注重概念的内涵与外延，提升学生应用知识的能力。

总之，在听完饶老师的研题后，对圆的相关知识有了更深入的理解，饶老师的钻研精神值得我学习，在以后的教学中，要不断地钻研教材，从而培养学生的思维能力。

个人感言

做了很多地区的中考题后，最终选择了这道包含点的运动轨迹的题，可能是因为在教学的过程中，同学们很害怕动点问题，这也是初中阶段的一个难点，所以我对动态的问题很感兴趣。

确定题目后，在自己做的过程中，发现此题入手不难，先给出了一个动手操作的问题，然后给出了点的运动轨迹，第（1）问求圆的半径，利用圆周角定理及其推论就很容易求解，让学生初步感受定弦定角问题；第（2）问比较圆内的一个角和圆周角的大小，需要学生由圆内的线段构造出弦，再构造圆周角，利用外角定理去比较大小；第（3）问将定角条件改成了已知角的正切值，需要学生转化出这个角也是一个确定的角，只是度数不是我们所熟悉的特殊角，体现了从特殊到一般的思想方法。又通过设计两小问考察了垂径定理、外角定理、解直角三角形等知识点，知识点多但都是很常用的，我就以为我选的题目过于简单了。

看到九年级的学生的完成情况下，我才意识到题目并没有想象的那么简单，我才开始重新研究这道题，越研究，越发现了命题老师的巧思，通过这样一个动手操作探究问题，将圆中的重要知识点都很好的串联起来了，非常考察学生的分析、转化能力。其实这个探究问题在学习全等三角形的判定条件时，教师就可以探究类似的问题，给定两个条件能判定两个三角形全等吗，答案是不能，也就是一边一角无法确定三角形，还分成两类来谈论，一边及其对角，一边及其邻角，如果深入探究，那这样的三角形是任意的吗?定弦定角问题就是已知一边和这边的对角，发现角的顶点在以边为弦的两段优弧上运动。我就想如果已知一边及其邻角，那我们又可以进行哪些探究呢，发现也可以改编一些题目让学生去探究。

感谢张钦博士给我们提供的平台，让我体验到研究的乐趣；感谢老师们给我的帮助和指导，你们的专业水准是我努力追求的目标。

饶昭昭老师简介

饶昭昭，宜昌市第二十五中学数学教师，热爱数学，热爱学生，热爱阅读与数学相关的各种书籍，让学生感受数学的神奇与美好，是我一直的追求！