芝诺悖论：你永远追不上前面的一只乌龟？

今天我们讲几个有趣但也有点烧脑的几个哲学悖论。

芝诺是古希腊爱利亚学派的代表人物之一，是提出存在论的巴门尼德的学生，其最大贡献，就是为巴门尼德的存在论进行辩护，并提出了四个著名的哲学悖论。

芝诺的四个悖论

1.阿喀琉斯和乌龟

这个悖论我在《古希腊哲学（上）》中讲过，我在这里再简单介绍下。

阿喀琉斯是古希腊著名的大英雄，非常善于奔跑，然而芝诺通过自己的论证却证明了阿喀琉斯永远追不上在他前面的一只乌龟。

芝诺的论证是这样的：乌龟在阿喀琉斯前面某处A向前爬，阿喀琉斯追上乌龟到达A点时，乌龟此刻必然已经到达了A点前面的一点B；当阿喀琉斯再次追赶乌龟达到B点时，乌龟则到达了B点前面的一点C；如此下去，每当阿喀琉斯到达乌龟上一刻所在的位置时n，乌龟必然已经到达了了在他前面的一点m，因此阿喀琉斯永远追不上在他前面的一只乌龟。

2.二分法

二分法与上面的悖论类似。假设一个人想要到达终点O，他必然要先到达中点A，但如果他想要到达A，他必须先到达起点与A点之间的中点B……以此类推，这个人想要达到某一点n，必须要先到达起点与这一点的中点m，因此他就困在这个二分的陷阱之中，永远无法到达目的地。

3.飞矢不动

芝诺认为飞着的箭在每一个时刻都处在一个确定的位置上，比如在时间t0时它所处的位置是A，A是固定的，因此在此时箭是静止不动的；在时间t1时，飞箭所处的位置是B，B同样也是固定不动的。而飞箭在整个运动过程中都是由无数个静止不动的瞬间组成，因此飞行的箭实际上在整个过程中都是处于静止不动的状态。

4.运动场悖论

有三行相同规模、人数为双数的队伍，第一行记为A，第二行记为B，第三行记为C，A队伍站正中间。B队伍从左往右排，最后一个人与A队伍站中间（靠左）的人对齐。C队伍从右往左排，最后一个人与A队伍站中间（靠右）的人对齐。B、C队伍同时出发，以同样的速度向着相反的方向前进，直到与A队伍对齐。如果相对于A队伍，B、C队伍是用了一个单位的时间到达，那么相对于C队伍，B队伍是用了两个单位时间。因为B队伍用时是不变的，所以会推出矛盾：一个单位的时间等于两个单位的时间。

关于芝诺悖论的解释

悖论三和悖论四很好解释，我在这简单说一下。

悖论三：芝诺对于静止的定义发生了错误，如果相邻时刻物体位置相同，则物质处于静止状态，反之处于运动状态。

悖论四：不同的参照系，必然会造成不同的运动结果，芝诺忽略了相对运动的影响。

下面我们主要重点讨论下第一和第二悖论（其实可以算作一个悖论）。

如果我们根据常理去判断，这两个悖论在现实中显然是不可能的，因为阿喀琉斯可能只需要一步就能跨过芝诺设下的悖论陷阱，超过乌龟。然而按照芝诺的逻辑去看，这个悖论似乎又是无可辩驳的。

那么问题出在了哪里呢？

亚里士多德给出的解释是：当追赶者与被追者之间的距离越来越小时，追赶所需的时间也越来越小。无限个越来越小的数加起来的和是有限的，所以可以在有限的时间追上。

而阿基米德发现了一种类似于几何级数求和的方法，而问题中所需的时间是成倍递减的，这正是一个典型的几何级数，由此可知阿基里斯追上乌龟的总时间是一个有限值。

其实亚里士多德和阿基米德给出的解释原理是一样的，都是认为在阿喀琉斯无限接近乌龟时，所需的追赶时间会越来越短，直至趋近于零。每次追赶所需要的时间（假设时间无限可分）之和是一个有限的值T，因此只要超过这个有限时间T，阿喀琉斯就超过了乌龟。

芝诺的错误在于将项数的无穷与结果的无穷相混淆，芝诺可以根据自己的悖论将时间划分为无限的项数，然而这些无穷的项数相加结果却并非是无穷的。

但我认为，芝诺的根本错误在于对时间和空间的无限可分，他一步步将阿喀琉斯追赶乌龟的时间分割，最后直至趋近于零。但是根据现代量子物理的理论，时间、空间和能量都是有限可分的，这个可分的最小单位被称之为普朗克长度。因此当阿喀琉斯追赶乌龟花费的时间小于这个最小长度时，便在物理学上失去了讨论的意义。

我们可以想象一下这个画面：当阿喀琉斯距离乌龟只有1米远时，阿喀琉斯只需要一步就能追上乌龟，然而芝诺的悖论就在于将这一步的距离以及所需要的时间无限分割，直至在时间和空间上无限趋近于零，最终的结果是阿喀琉斯和乌龟在这种极端情况下都趋于一种静止状态，这便失去了原本追赶的意义。

康德曾经将知识划分为形式逻辑和事实的逻辑两种。形式逻辑只讲究逻辑本身的自洽：如所有飞马都会飞，赤兔是一只飞马，因此赤兔会飞，这是典型的亚里士多德三段论推理法，我们可以将特例总结为：所有A都属于B，C属于A，则C必然属于B，这样的形式逻辑在推理上是正确的无法辩驳的，然而这却与事实不符，因为现实中不存在飞马，因此基于错误前提使用正确推导过程得出的结果也是错误的。

而事实的逻辑，则需要逻辑的前提以及考察对象都与事实相一致，才能保证逻辑推导过程和结果都正确无误。如所有人都会死，苏格拉底是人，所以苏格拉底会死，这样的结果显然是与事实相符的。

芝诺悖论在推理过程上是严谨的，在逻辑上也是无懈可击的，但其对于逻辑对象即时间、空间的应用是却是错误的。芝诺的推理过程只能算是一种形式逻辑，但不是事实的逻辑，其悖论的核心和前提在于时间和空间的连续可分，然而这与事实以及量子力学理论都不相符，因此基于这样前提使用正确推理得出的结果也是不正确的。

对芝诺的评价

柏拉图在《巴门尼德篇中》这样评价芝诺：“芝诺的功绩在于把动和静、无限和有限、连续和离散的关系惹人注意地摆了出来，并进行了辩证的考察”。黑格尔在他的《哲学史讲演录》中指出:"芝诺主要是客观地辩证地考察了运动"，并称芝诺是"辩证法的创始人"。

芝诺悖论让后世无数哲学家陷入了沉思，并试图从各个方面去破解他的这四个悖论，然而始终无人能给出能够完全让人信服的解释。而从数学角度来看，芝诺悖论也是最早思考运动连续性以及无穷集合的哲学家之一，甚至影响到了近现代数学极限与集合概念的提出。

英国哲学家怀特海曾经表示，虽然所有人都不认同芝诺的结论，但“每个世纪都认为他值得反驳”，这就非常了得，因为“文字能被每个世纪所反驳乃是成就之巅峰”。