2016年江苏高考数学真题，导数的综合应用，还有很多学生不会做

大家好！本文和大家分享一道2016年江苏高考数学真题。这是一道函数的综合题，第一小题两问的难度都不算太大，第二小题的难度较大，考查的是导数与函数零点的问题，还是有很多高三学生不会做。接下来我们一起来看一下这道题。

先看第一小题的第一问：解方程。

将a、b的值代入函数f(x)的解析式中，方程就等价于2^x+(1/2)^x=2，两边同时乘以2^x，整理得到(2^x)^2-2×2^x+1=0，即(2^x-1)^2=0，所以2^x=1，即x=0。

这一问的难度不大，但是还是有一些同学不会解这个方程。其实，采用换元法，令t=2^x(t＞0)，原方程就可以变为t^2-2t+1=0，这样求解就简单了。

再看第二小题的第二问：求最值。

本问实际上就是求参数的取值范围，而参变分离是求参数取值范围非常有效的方法。

先表示出f(2x)和f(x)，代入不等式，得到：2^2x+(1/2)^2x≥m[2^x+(1/2)^x]-6恒成立。令t=2^x+(1/2)^x，则t≥2，f(2x)=t^2-2，即t^2-2≥mt-6。然后参变分离，得m≤(t^2+4)/t=t+4/t恒成立，也就是说m小于等于t+4/t(t≥2)的最小值。

由基本不等式得t+4/t≥4，当且仅当t=2时取等号，所以m≤4，即m的最大值为4。

再看第二小题：求ab的值。

本题实际上考查的是函数的零点个数问题，而研究函数零点个数通常是通过求导，研究函数的单调性、极值等性质来确定零点的个数及所在区间。

g(x)=f(x)-2=a^x+b^x-2，求导得g'(x)=a^xlna+b^xlnb=a^xlnb[(lna/lnb)+(b/a)^x]。由题意，0＜a＜1，b＞1得：b/a＞1。

令h(x)=(b/a)^x+(lna)/(lnb)，则h(x)为增函数。当x=x0时(x0的值见下图)，h(x0)=0，则当x＜x0时，h(x)＜0，又a^xlnb＞0，故g'(x)＜0，即此时g(x)为减函数；当x＞x0时，h(x)＞0，故g'(x)＞0，即此时g(x)为增函数，所以g(x)的最小值就是g(x0)。

接下来，需要讨论g(x0)的值，从而来确定g(x)零点的个数。很明显，如果g(x0)＞0时，函数g(x)无零点；g(x0)=0时，函数g(x)恰有一个零点；g(x0)＜0时，函数g(x)可能无零点，也可能只有一个零点，还有可能有两个零点，此时需要进一步通过特殊值进行确认。

这道题就和大家分享到这里，你学会了吗？