燃油经过高压油泵从A处进入高压油管，再由喷口B喷出。燃油进入和喷出的间歇性工作过程会导致高压油管内压力的变化，使得所喷出的燃油量出现偏差，从而影响发动机的工作效率。
注1：燃油的压力变化量与密度变化量成正比，比例系数为/，其中为燃油的密度，当压力为100 MPa时，燃油的密度为0.850 mg/mm3。为弹性模量，其与压力的关系见附件3。
建模前的准备
首先从两方面来考虑这个高压油管，无非就是两个阶段：进油速率I(t)和出油速率E(t)，在相应时间段内用数学表达如下：
下一步，最重要的就是如何描述高压油管内燃油的质量变化（微分方程），通过质量守恒定律（常用的），在dt时间内，燃油质量变化量应该有
也就是进油-出油量，把dt移到左边，其实就是
并且有初值：
个人认为这篇文章的出彩之处就在于分析了：1.时间足够长的时候，高压油管内压力的变换，即抵达稳态，2.为了让油压稳定，一定是在目标压力值上下波动，文章给出了单个周期，油压和时间的变化，并且100MPA上下两部分的面积应该尽量相等，靠此条件为目标函数
现在的问题是，微分方程里高压油管内的ρ(t)还不知道。注1说燃油的压力变化量与密度变化量成正比，比例系数为/，其中为燃油的密度，当压力为100 MPa时，燃油的密度为0.850 mg/mm3。为弹性模量，其与压力的关系见附件3。可以推出以下几个东西：
1.E是关于P的函数，E=E§
2.
简单的积分一下：
笔者查阅了这篇文章的代码，发现他们是根据
求出的P和ρ的关系，而不是靠积分。首先他们根据附件3分段拟合出了E和P的关系，所以公式里的E就知道了，但笔者不清楚，公式里的ρ到代码里为什么变成了离散后前一个状态的ρ+当前状态的ρ的和/2：
问题一：
某型号高压油管的内腔长度为500mm，内直径为10mm，供油入口A处小孔的直径为1.4mm，通过单向阀开关控制供油时间的长短，单向阀每打开一次后就要关闭10ms。喷油器每秒工作10次，每次工作时喷油时间为2.4ms，喷油器工作时从喷油嘴B处向外喷油的速率如图2所示。高压油泵在入口A处提供的压力恒为160 MPa，高压油管内的初始压力为100 MPa。如果要将高压油管内的压力尽可能稳定在100 MPa左右，如何设置单向阀每次开启的时长？如果要将高压油管内的压力从100 MPa增加到150 MPa，且分别经过约2 s、5 s
和10 s的调整过程后稳定在150 MPa，单向阀开启的时长应如何调整？
那现在解决问题一就比较容易了：
Pe是已知量，而P(t)怎么求呢？在建模前的准备，已知知道了P和ρ的关系了，那么P(t)=g(ρ(t))，那么ρ(t)怎么求呢？ρ(t)=m(t)/V
上面的式子只能通过离散化求解
遍历T即可
如果要将高压油管内的压力从100 MPa增加到150 MPa，且分别经过约2 s、5 s和10 s的调整过程后稳定在150 MPa，单向阀开启的时长应如何调整？
首先，文章根据第一小文的结果提出猜想：无论初始压力如何，当开阀时间T确定时，系统的最终的压力都会趋于一个常数，压力值在常数附近波动，并且T影响着系统到达稳态的时间。所以为了达到“要将高压油管内的压力从100 MPa增加到150 MPa，且分别经过约2 s、5 s和10 s的调整过程后稳定在150 MPa”这个目标，可以先取Pe=150MPA，得到单向阀开启时间T150，然后研究T150情况下系统达到稳态150MPA所需要的时间。
首先很容易得到T150=0.752ms，压力从100Mpa到150Mpa并保持稳定
所需要的时间是5.9s
而题目要让在2s，5s，10s到达稳态
先看2s和5s的情况，都小于5.9s，所以在前2s和前5s，单向阀开启时间一定是比T150=0.752ms大的，思路就是，先找到某个T，让压力在这种情况下，2s的时候达到150Mpa，然后2s一过，T变为0.752ms，让系统保持稳定。
而对于10s，大于5.9s，那么就让前4.1s，开阀时间保持第一小问的结果0.288s，然后在后5.9s，开阀时间转变为0.752s，让系统自然的到达150Mpa稳态，不得不说，这种处理很妙。
问题二：
在实际工作过程中，高压油管A处的燃油来自高压油泵的柱塞腔出口，喷油由喷油嘴的针阀控制。高压油泵柱塞的压油过程如图3所示，凸轮驱动柱塞上下运动，凸轮边缘曲线与角度的关系见附件1。柱塞向上运动时压缩柱塞腔内的燃油，当柱塞腔内的压力大于高压油管内的压力时，柱塞腔与高压油管连接的单向阀开启，燃油进入高压油管内。柱塞腔内直径为5mm，柱塞运动到上止点位置时，柱塞腔残余容积为20mm3。柱塞运动到下止点时，低压燃油会充满柱塞腔（包括残余容积），低压燃油的压力为0.5 MPa。喷油器喷嘴结构如图4所示，针阀直径为2.5mm、密封座是半角为9°的圆锥，最下端喷孔的直径为1.4mm。针阀升程为0时，针阀关闭；针阀升程大于0时，针阀开启，燃油向喷孔流动，通过喷孔喷出。在一个喷油周期内针阀升程与时间的关系由附件2给出。在问题1中给出的喷油器工作次数、高压油管尺寸和初始压力下，确定凸轮的角速度，使得高压油管内的压力尽量稳定在100 MPa左右。
这一道题其实本质上就是对进油和出油加了限制，现在就很明显的感受到了在第一问中写出I(t)
和E(t)的好处了，只要对其进行适当修改，模型主体基本不变。
首先是I(t)的重新确定：
问题二给出了进油的条件：柱塞腔内的压力大于高压油管内的压力，也就是f1，文章用sgn函数，把0-1变量和t能串在一起，也是很不错的处理，值得学习。
那么Pc(t)又如何确定呢？在一个很小的dt内，放油状态必不会变，那么肯定有：还是质量守恒，体积守恒
那么
不过笔者不太明白为什么Pc=m/V，这不是密度吗？而E(t)因为受到针阀的影响，也要有相应的改变
其实也就是说当环缝面积小于喷嘴面积时，出油量是环缝面积，当环缝面积大于喷嘴面积时，出油量是喷嘴面积
并且假设外界为一个标准大气压
综上，仍然使用差分法对模型进行离散计算
遍历w即可
问题3.
在问题2的基础上，再增加一个喷油嘴，每个喷嘴喷油规律相同，喷油和供油策略应如何调整？为了更有效地控制高压油管的压力，现计划在D处安装一个单向减压阀（图5）。单向减压阀出口为直径为1.4mm的圆，打开后高压油管内的燃油可以在压力下回流到外部低压油路中，从而使得高压油管内燃油的压力减小。请给出高压油泵和减压阀的控制方案。
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