埃舍尔和三位数学家的故事

女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

我们大多数人都知道埃舍尔的艺术与数学紧密相关：他的版画上有很多生物以完美的规律性彼此锁在一起，或者在连接日与夜、天与地的景观中变形；建筑物和场景在纸上的描绘方式是建筑师无法建造的。更少有人知道，他一生中不止与一位，而是三位数学家交往，每一次交往都深深影响了他的艺术。我们可以说，是数学把埃舍尔和他的艺术介绍给了更多的人。

平面规则分割

从很早开始，埃舍尔就试验和发明了无缝密铺平面的设计，并以成为他艺术生涯中反复出现的主题。早期的一个例子《八张脸》(1922)在艺术上很有创造性，但没有表现出我们现在与他联系在一起的数学艺术性。它展示了八个人物，四个男性，四个女性，四个直立的，四个倒立的，四个深色的，四个浅色的，所有这些都以棋盘状的图案交替排列，但相互交错，例如，一个人的肩膀形成了另一个人的帽子的羽毛。这八个人被安排在一个正方形中，这个正方形本身被冲压了四次，变成了一个更大的正方形。埃舍尔让我们去理解，这种模式可以无休止地重复，以覆盖一个无限的平面。然而，整体效果并不是严格意义上的密铺。

《八张脸》

1922年，埃舍尔参观了阿尔罕布拉宫，这是一座由摩尔人重建的西班牙城堡建筑群，以其马赛克瓷砖而闻名。像许多艺术家一样，埃舍尔画了各种各样的密铺图案，但他没有怎么使用它们，似乎是因为他对人物、动物、花鸟鱼虫比对纯粹的几何形状更感兴趣。他评论说，“摩尔人是用全等图形密铺表面的大师，不会留下任何空隙。”但“我发现这种(对几何形状的)限制更加不可接受，因为我自己的图案的组成部分的可识别性是我从未停止对这一领域的兴趣的原因。”因此，埃舍尔描述了图案的严格几何秩序和拼块的有趣形状之间的精妙关系。

尽管如此，他仍继续尝试平面密铺，创造自己的图案，一路上，阿尔罕布拉宫的设计启发他将菱形和六边形、正方形和三角形扭曲成可识别的图形，并保持相同的基本关系不变。1936年，他重游阿尔罕布拉宫，这一次他更多地注意到了他所看到的图案。但是他还有一年的时间才能遇到一次会戏剧性地改变他的艺术生涯的机会。

在继续之前，你应该尝试一些小练习。使用单个规则多边形作为密铺元素绘制平面的所有可能的密铺。现在，你怎么知道你所有的用过，而且没有遗漏呢？以2x1的矩形作为瓷砖，也可以这样做。在你画的那些画中，哪些本质上是相同的，哪些是真正不同的——你会如何向其他人解释原因？在你的设计中使用多个瓷砖形状。这些练习带来了一项更大的任务，描述所有基本的密铺图案，包括那些使用多个形状作为瓷砖的密铺图案，这些图案在结构上彼此不同。

埃舍尔同父异母的弟弟比尔是一名地质学教授，他意识到埃舍尔实际上是在用三维晶体的二维平面类比进行实验，所以在1937年，比尔向埃舍尔寄去了20年前写的一批结晶学论文。埃舍尔在回复中写道，他发现对于一个门外汉来说，它们大多太枯燥、太理论、太难了，除了格奥尔格·波利亚(Georg Pólya)(1924年)的一篇KrystallSymmetrie der Ebene(关于平面上晶体对称的类比)。这是一篇纯数学的群论论文，旨在解决描述所有不同密铺关系的艰巨任务。巧妙的转折是，波利亚在那篇论文中承诺，“我将在其他地方讨论这样一个事实，即从艺术角度来看，对这些装饰品的数学研究也很有趣。”

波利亚是一位匈牙利数学家，当时在苏黎世的瑞士E.T.H.工作，但由于受到社会主义崛起的干扰，他于1939年逃往美国。在从事数学工作的同时，波利亚对教育也有浓厚的兴趣。他的书《如何证明》和《数学与合理推理》应该是每个数学教师都应该阅读的。

那么，一篇纯数学的技术论文是如何引起艺术家埃舍尔的共鸣并改变他的？很简单，波利亚已经完全解决了埃舍尔多年来一直在探索的问题，但他没有正式的解决手段。相反，埃舍尔依靠的是视觉上的直觉和他想要实现的愿景。毫无疑问，埃舍尔从事了数学研究；只是他是在孤立地工作，使用他自己的语言，而不是正式的数学语言，也许对数学的作用知之甚少或一无所知。

乔治·波利亚（Georg Pólya）对17种不同的可能的对称群的例子

对埃舍尔来说，最重要的，也是他立即明白的，是包含了波利亚的图表。波利亚对用于构建密铺的特定形状不感兴趣。相反，他的重点是模式中固有的对称性。例如，向各个方向无限延伸以密铺平面的棋盘图案有几种对称。如果图案通过对角线或者通过平分正方形边的水平轴和垂直轴反射，镜像对称会使图案保持不变。如果图案围绕正方形的中心和角旋转半圈，旋转对称性会使图案保持不变。如果将图案向上或向下、向左或向右平移两个方块，平移对称会使图案保持不变。最后，还有一种特殊的对称，称为滑移反射，通过沿着一条线平移，然后通过这条线反射而获得。

现在，用对称的语言，我们可以说，如果两个密铺具有完全相同的对称群，那么它们在结构上是相同的，即使特定的形状是不同的。令人惊讶的是，事实证明，恰好有17组不同的对称，不多也不少，波利亚的图表给出了每一组对称的例子，数学说明了为什么只有这些组合是唯一的。波利亚的一些例子模仿了埃舍尔熟悉的阿尔罕布拉宫瓷砖，而另一些则是波利亚自己的设计。

这次相遇后，埃舍尔开始全力以赴地研究密铺图案，在一页又一页的纸上写满了他从波利亚那里收集到的想法。埃舍尔的一些图案甚至基于波利亚使用的形状，因此D1·gg被变成了老鹰(1938)。请记住，埃舍尔的驱动力不是几何形状，而是具象的图形，现在他有更多的工具来帮助他构建这些图形，以便它们通过对称锁定在一起。

在此基础上，他可以通过将形状从一种形式蜕变为另一种形式，以及在设计中缩小和放大相同的形状，但仍保留密铺的性质，来开始修改方块图。前者的一个例子是《循环》（1938年，在看到波利亚文章之后仅一年），但在发展上与《八张脸》有很大的距离。

《循环》

在《循环》中，我们看到一个人物，双手举起，从外面的楼梯跑下来。随着他的下降，这个人物在六边形的基础上变成了一个剪影，这个剪影继续穿过印刷品的底部，然后在另一边向上，并再次转变，但变成了形成建筑物的石块，而这些石块又被压缩成天井的瓷砖，导致这个人物返回。埃舍尔在玩密铺游戏，也在玩在二维表面上表现三维物体的模糊性。

彭罗斯和不可能图案

埃舍尔不仅玩二维图案，还玩三维空间。在他的许多版画中，他从不同的角度包含了相同的场景，通过使用单一元素来连接不同的部分，以实现多种目的，具体取决于不同的视角。例如，在《异度空间》(1947)中，我们看到了从三个不同的有利位置描绘的同一场景，但以一种方式锁定在一起，即根据视点，单个表面同时充当墙、地板和天花板。这将所有的东西结合到一个场景中，这个场景不可能作为一个整体来考虑，但在这个场景中，个别的小部分在单独的情况下是非常有意义的。

《异度空间》

《相对论》(1953)更是雄心勃勃。不仅平面同时充当墙、楼板和天花板，而且还描绘了几个楼梯，每个楼梯都实现了双重用途。当一个身影落在踏板上时，另一个身影垂直于第一个身影，从第一个身影的角度看，它是沿着哪个立管上升的。这些版画采用了《八张脸》的基本概念，即各个图片元素在图片中可以服务于不同的目的，并将其扩展到另一个维度。

《相对论》

埃舍尔故事的这一部分可能比波利亚的插曲更为人所知。阿姆斯特丹是1954年国际数学家大会的主办城市。ICM是一项大型活动；它是数学家们最大的聚会，每4年举行一次。每届大会的亮点之一是菲尔兹奖牌获得者的宣布。

荷兰数学家N.G. de Bruijn为这次阿姆斯特丹大会安排了埃舍尔展览，他认为数学家会在埃舍尔的艺术中看到他们在自己的研究中非常看重的对思想的玩味。这是一个重要的概念，也许在教室和教科书中被忽略了，即数学是有趣的，它是关于探索模式和发现关系的，它不是关于无意识地记忆规则。

一位年轻的科学家罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）看到了《相对论》，并被其中的三个楼梯所震撼，这三个楼梯如果作为一个整体，在物理上是不可能的，但如果孤立地看，却是完全一致的。作为一个好奇的数学家，他开始寻找自己的不可能图形。其结果是著名的彭罗斯三角形，从图形上看，它就像三个直的矩形条连接成一个三角形，每个角都是一个直角。

彭罗斯三角形。

彭罗斯三角形。不可能在三维空间中构建，但可以在二维空间中绘制，它保留了局部的一致性，看起来似乎是可能的，直到你沿着三个直角描出条形。来源：维基

当埃舍尔发现了波利亚并开始通信时，彭罗斯也发现了埃舍尔并开始通信，这直接影响了埃舍尔的艺术，尤其是《升与降》(1960)和《瀑布》(1961)。彭罗斯的父亲莱昂内尔是一名精神病学家、遗传学家和数学家，在看到不可能三角形后，他创造了自己的不可能的图形，一组楼梯围绕一个正方形的四个边，看起来你可以永远上升，或永远下降，取决于你选择的图形。罗杰把这些想法送给了埃舍尔，我们现在在这两幅版画中看到了僧侣和水无限循环上升和下降的直接结果。

《升与降》

《瀑布》

绘制你自己的不可能图形

您可能希望尝试设计自己的不可能图形。有没有类似彭罗斯立方体的正方形、立方体或四面体？有一个基于模棱两可的内克尔立方体的不可能立方体，但这说明了一种不同的不可能，这是埃舍尔在《观景楼》(1958)中使用的，也是有创造力的人可以使用的。

内克尔立方体和不可能立方体。来源：维基

《观景楼》

第三种不可能是画出两个连贯的、使用相同数量的平行线的两端，然后把它们连接在一起，形成一个不可能的图形。

下面的形状有很多变化，例如，在1965年3月发行的《MAD》杂志的封面上被称为“the MAD poiuyt”。

参考文献

1 Ernst, B. (1976). The Magic Mirror of M.C. Escher. Toronto: Random House.

2 Escher, M. C. (1989). Escher on Escher. New York: Abrams, 1989.

3 Polya’s 17 symmetry groups https://en.wikipedia.org/wiki/Wallpaper_group

4 Pólya, G. (1924) Über die Analogie der Krystallsymmetrie der Ebene. Z. Kristall 60, 278-282.

5 Schattschneider, D. (2004). M.C. Escher: Visions of Symmetry, New ed. New York: Harry N. Abrams.

6 Schattschneider, D. (2010). The Mathematical Side of

7 M. C. Escher. Notices of the American Mathematical Society 57, 706 – 718.

8 Toen Castle, ESCHER AND THE MATHEMATICIANS

青山不改，绿水长流，在下告退。

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