数学的定义及其特征

关键词：数学教育、纯粹数学、应用数学

来源：徐利治《数学方法论选讲》

作者简介

徐利治

徐利治（1920年9月23日—2019年3月11日），是国内外著名的数学家、教育家。出生于江苏省张家港市，1945年留在西南联合大学任华罗庚助教，1946年加入中国共产党。1949年赴英国阿伯丁大学和剑桥大学访问进修各一年，1951年担任清华大学数学系副教授，兼任北京师范大学数学系副教授，1952年到长春组建东北人民大学（现吉林大学）数学系，1981年担任大连工学院（现大连理工大学）应用数学研究所首任所长；是《逼近论及其应用》主编、《数学研究与评论》名誉主编、《高等学校计算数学学报》名誉主编，以及德国《数学文摘》杂志评论员大连理工大学教授。致力于分析数学领域的研究，在多维渐近积分，无界函数逼近以及高维边界型求积法等方面获众多成果，并在我国倡导数学方法论的研究。

《中国大百科全书·数学卷》开宗明义写道：“数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的，简单地说，是研究数和形的科学。”这是一个权威的论断，脱胎于马克思和恩格斯关于数学的概括。

对于这个定义，人们有各种不同的理解、补充、修改。例如，钱学森在《关于思维科学》一书中，把数学和哲学并列，认为数学是在社会科学和自然科学之上的一门学问。有人对数学来源于现实世界有不同的看法。比如，“哥德巴赫猜想”来源于现实世界的哪一部分，很难说得清楚。记得1958年，武汉大学的齐民友先生写过《竹子的哲学》一文，文中认为数学的生长像竹子，根在大地，然后自己一节一节向上长，间或爆出新笋，长成新竹。若干年之后，竹子开花，结成种子，重回大地。这一比喻，何等贴切。但在当时，它是作为反对数学来源于实践的“反面教材”发表的。更多的数学家认为，现代数学的发展，已经超出“数”和“形”的范围，应当包括结构、范畴、模型等更广的对象。不过，只要把数和形作广义的理解，大概也就可以了。

图1 竹

关于数学的特点，一般都沿用苏联A.D.亚历山大洛夫的“三性”提法：抽象性、严谨性、广泛应用性。这一提法有合理的成分，但产生的实际效果却在很大程度上被异化了。一提数学，先就是抽象，使数学远离人们的实际经验和日常生活，吓人一跳。其实，物理学、化学也抽象，力、电压、当量等也不是看得见、摸得着的。数学的抽象在于它的对象：形式化的思想材料。而这些材料仍然可以溯源于经验世界，不必过于强调其抽象之难。至于严谨性，和逻辑联系在一起，使数学成为一门相对精确的科学。但是，过分地强调严谨性，把数学等同于逻辑，把生动活泼的数学思想淹没在形式演绎的海洋里，实在是歪曲了数学的本质。至于“广泛应用性"，乃是抽象性的推论，几乎没有新的论述。因为数学的抽象，虽然什么都挨不上，可又什么都挨得上，于是到处都可以用数学，数学的广泛应用性也就成立了。这样的论述引申到中学数学教育上，便是绝口不提数学的应用。特级教师的论文中，绝少涉及应用。数学高考，相当长时间不涉及应用题，学生视应用题为畏途，连教师也觉得头痛。到了这一步，数学除了“思维的体操”之外，再也没有什么可谈的了。数学教育变成解考题教育，数学教学的目的是通过考试，数学教师成了解题机器，解数学难题成了数学杂技。只要躲在抽象性、严谨性的口号下，什么联系实际、数学为国家建设服务、培养用数学分析和解决实际问题的能力，便统统不必过问了。

图2 数学的“三性”提法

问题出在“数学观”已经跟不上时代要求。

长期以来，数学的含义只包括“纯粹数学"。大百科全书中的数学定义，亚历山大洛夫的“三性”都是从纯粹数学的意义上来说的。其实，今天的数学，已经不仅限于纯粹数学，而是已经渗透到社会生活的每个角落，成为能够立即转化为生产力的一门技术。每一种高科技的背后，都离不开数学的支持。电视卫星的姿态和定点控制必须用数学计算得分毫不差，数字电视主要依靠信息压缩的数学技术，头顶呼啸而过的喷气式飞机的制造和飞行，是用数学方法加以计算和控制的。与人的健康紧密相关的CT扫描，其基本原理竟是一条数学定理一一拉东逆变换公式。信息时代的国家机密正是通过数学密码理论才得以在传输过程中保持安全。庞大的世界经济的未来，正在由成千上万个未知数的微分方程组进行模拟和预测。从北京大学数学系毕业的王选院士用数学技术创立了享誉国际的方正集团。当我们在尽情享受数学文明的时候，我们应当如何认识当今的数学呢?

中国的数学观多半限于纯粹数学，有其历史原因。1949年以前的旧中国工业凋敝，科学落后，没有应用数学可言，当时的著名数学家在艰难的条件下开展数学研究，没有经费，只能从花钱很少的纯粹数学着手，例如研究数论、函数论、微分几何。他们的成就是国家的骄傲，体现了中华民族的创造精神，但是也不可避免地带有时代的局限性。1949年以后，华罗庚、苏步青等都先后涉及应用数学，而且身体力行，力求有所作为。可惜的是，文化大革命时期的动乱搞乱了人的思想。否定数学基础研究，批判纯粹数学研究工作，走向极端，把搞不搞应用数学当成“打人的棍子”，伤害了许多人。1976年以后，拨乱反正，有时不免“进一步，退两步”。

在一些地方，应用数学反倒成了“实用主义”的替罪羊。在中学数学圈子里，“十年动乱”期间搞工业基础、农业基础，数学课成了划线、识图，真的是实用主义的数学教育。80年代将它推倒重来，理所当然。可惜的是，真正意义上的数学应用却渐渐从中学数学教学中消失了。进入了90年代，国家建设进入了繁荣时期，科教兴国已成为国策。在这样的时候，重新审视数学的价值，把应用数学提到战略地位来考虑，形成新的数学观，就是十分必要的了。当然，忽视数学应用的倾向也具有世界性，并非中国所特有，只是中国由于历史环境特殊，情形更为严重而已。