谈一谈数学思维

谈一谈数学思维

有一些人失眠，治失眠最好的办法不是吃失眠药，而是拿起一本数学书看。看不懂硬看，一会就睡着了。 更有一些人一提到数学就头痛，对数学有了一种恐惧感。许多人学数学，基本上都是做习题，找技巧，把人弯弯绕的晕头转向。

其实学数学做习题也是必须的，因为毕竟要迎合考试，考试不好许多关都过不去。但是如果对数学感兴趣，或以后工作的需要，做一个理论科学家或工程师，可不是做习题找技巧的问题了，那就必须要具备“数学思维”了。

什么是数学思维？

数学思维就是如何把你所看到的，世间的一切事物，都用图形和数量思考。也就是说不要去管其它什么东西，在你的眼里世界和宇宙只有两样东西，一个是几何形状，另一个就是数量。而数学思维就是抽象的数量关系，几何图形关系，图形和数量之间的关系。

如何建立数学思维方式？

首先，对数学有个宏观的概念，就是站在远处看一座高楼大厦。然后才会有进入到每一个房间，打开一个柜子，拉开一个抽屉，拿起一个卡片。这就是数学的某一个领域，某一个分支。没有对数学宏观的感受，就不会对数学微观上的兴趣。

其次，数学公式是艺术，是和谐和美的。真实的数学公式你可以感受到它的美，就像看一幅字画，大家的字画你可以感受到它的神韵，它的内在的美。数学也一样，真实的数学公式你可以感受到逻辑的严谨，宇宙的奇妙和优美。

最后，你有了数学思维，你就会感觉到你看事物比别人深入到了事物的核心本质里去了。你的大脑里多一种思维方式，你就会比别人看世界多了一个视角。

由于数学公式很难在这里表达出来，可能是软件的原因，所以在这里我尽量用语言来描述，帮助读者建立一个数学思维的方法。

“一”，就是一个整体，不要管它的“单位”。一个人，一辆车，一个地球等等。

自然数，1、2、3……无穷无尽，数不完。符号表示方式和进位制是人为规定的。而没有一个自然数和它的性质是宇宙里固有的。

可以看一看我的文章《自然数原理》，里面有一个“自然数分类公式”，可以帮助你理解自然数的性质，加深你对自然数的理解。

自然数是增加的，这就有了“加法”的概念。是在增多。

反向运算就是减少，这就是“减法”的概念。是在减少。

你这个月开支3000元，花费3872元，算账后你本月亏了872元。这就出现了“附属”的概念。如果海平面高度是0，一坐高山海拔，就是高出海平面。一块凹地，低于海平面，就是“负”。这就有了“正负”的概念。符号“＋﹣”。

2365米

2365米

200米

200米

自然数是数学里最基础的东西。

前面我们讲了，数学就是数和形两样东西。有了自然数的概念我们就要结合图形的概念了。

请你先拿一张白纸，铺在桌子上。这张白纸就是一个“二维”的平面。然后在纸上点一个点，这个点就是“几何”学里最基本的要素。不要小看这个点，科学技术，理论分析必须都要使用这个“点”的概念。比如地球围绕太阳运行的轨道，地球仅仅是一个“点”。

你从这个点开始画一道直线，显然这条直线是由无数多个点组成的，这道直线是连续的，光滑的，没有折痕和间断的。因为你画的这条直线是有起点和终点的，数学上这叫“线段”。

出一个问题。

你画一个短的线段，再画一个比这条线段长一些线段。我问你：“哪条线段上的点多？”

你会回答：“你傻了吧？当然是长线段比短线段上的点多了！”

我不傻，这就是数学的奥妙，也是数学的兴趣所在，也是我们这个宇宙有些事是不可思议的，远远超出了我们的直接感受。

不论线段的长短，里面包含的“点”都是无穷多的，也叫“无穷大”。无穷大我们能比较大小吗？

仔细想一想是不是很恐惧？也很好奇？当然数学上无穷大也可以分成数量级。

我们画一条直线，起点我们用字母O表示，这个是0点。然后取一段点一个点。从0点这个点就是一个“单位”长，也就是数量1 。

平面上不论是3边形，四边形（矩形、长方形和梯形），五边形等等，多边形。我们都可以分解成三角形，而这些三角形，不论是钝角三角形和锐角三角形，我们都可以细分成直角三角形。

所以“直角三角形”是数学里，也是我们这个宇宙里最基本的“几何单位”。研究直角三角形的性质是十分重要的。

这就有了三角形的内角和、“勾股定理”、三角函数等等。正弦函数、余弦函数、正切函数等等。还有三角函数公式、三角函数方程等等。

再有一个重要的几何图形，那就是圆。万有引力会把物质凝聚成一个球体，地球、月亮，恒星。我们在现实中看到圆形的东西太多了。有人问了：“为什么我们许多生活用品都是圆形的？”

锅碗盆勺，瓦罐水缸等等。能不能把足球做成方形的吧。圆，周长最短而面积最大，看来自然界也是讲效率的。

圆有三个要素：半径（或直径）、周长和面积。最著名的就是周长与直径的比值，这个值是一个无限不循环小数3.1425926……，记作π。

真要是深究π为什么是一个无限不循环小数？也很有意思。

如果取一个半径等于1的“单位圆”画图，里面让半径1逆时针旋转，这等同于一个吊锤，左右摆动留下的轨迹。这是振动学里必须使用的。

我们知道矩形的面积是两个边相乘。几何里是矩形面积，而数字里就是两个相同数的乘积。面积也就是平面。如果把一条直线看到一维空间，那么在一条直线上，垂直的加上另一条直线就形成了二维空间。

这里我们讲一讲数轴和直角坐标系的概念。

前面我们讲过，从一点O开始画一条直线，O点是零点0。然后用“一单位”长的线段去均分它，第一点就是1 。以此类推就是2、3……。这个方向我们记做+向。扩展一下，从零点0开始，反方向就是-1、-2、-3…… 。这就是一个完整的数轴。

把两个数轴的O点重合在一起，其中一个旋转90度，我们就形成了一个直角坐标系。

今天先讲到这里。

我认为初中就应该有一本书《数学概论》，从自然数讲起，讲到微积分和现代数学。其中穿插大量数学家的生平、故事和在数学上的主要贡献。起码让学习数学不要感到枯燥，要让学生知道这个数学大厦的宏观轮廓，有可能在自己感兴趣的领域里研究下去。

学习数学成天做习题，研究做题技巧，应付考试，我认为不是个事！